שינויים
/* רציפות */
=מבחנים ופתרונות=
*[[מדיה:19CSInfi1dumbtest.pdf|מבחן לדוגמא תש"ף]]
*[[מדיה:19CSInfi1A.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]]
**[[מדיה:19CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תש"ף]]
=סרטוני ותקציר ההרצאות=
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe פלייליסט של כל הסרטונים]
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hkSHBU2VSWetKIVS1oyDT2c פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א]
**<math>log_a(x^y)=y log_a(x)</math>
**<math>\log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}</math>
**<math>log_a(x)=y</math> אם ורק אם <math>x=a^y</math>
===חסמים===
*<math>L</math> הינו גבול הסדרה <math>a_n</math> (מסומן <math>\lim a_n=L</math> או <math>a_n\to L</math>) אם:
**לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
**לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>NK\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל <math>n>NK</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\varepsilon</math>
*נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>NK\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>NK</math> מתקיים כי <math>a_n>M</math>
*נגדיר ש<math>a_n\to -\infty</math> אם <math>-a_n\to\infty</math>
<videoflash>nHaq8E0vGJA</videoflash>
*תהי סדרה<math>a_n</math> המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל <math>n</math> כי <math>a<a_n</math> אזי <math>\lim a_n\geq a</math>
===שאיפה לאפס===
===גבולות של חזקותחזקת אינסוף===
*תהי <math>0<a_n\to a</math> אזי:
**אם <math>a>1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n \to \infty</math>
**אם <math>a<1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n\to 0</math>
*שימו לב כי ייתכן ו<math>1><a_n\to 1</math>, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.
<videoflash>hFa7Nv5o05M</videoflash>
===כלל המנה===
*כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]).
**תהי סדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי:
***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math>
***אם <math>0\leq L<1</math> מתקיים כי <math>a_n\to 0</math>
***מתקיים כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\to L</math>
*דוגמאות:
**<math>\frac{n}{2^n}\to 0</math>
**<math>\sqrt[n]{n}\to 1</math>
**עבור <math>a>0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{a}\to 1</math>
**<math>\sqrt[n]{n!}\to \infty</math>
<videoflash>Shmc2BtEGBE</videoflash>
===חזקות של גבולות===
===סדרות מונוטוניות והמספר e===
*כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.
*דוגמאותדוגמא:נביט בסדרה <math>a_1>0,\ a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>**כיוון ש <math>a_{n+1}-a_n=a_n^2\sqrt[geq 0</math> מדובר בסדרה מונוטונית עולה.**אם הסדרה חסומה:***קיים לה גבול סופי <math>a_n\to L</math>***נחשב את גבול שני צידי המשוואה <math>a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>***לכן <math>L=L^2+L</math> ולכן <math>L=0</math>***אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן <math>L\geq a_1</math>***כלומר <math>L=0<a_1\leq L</math> בסתירה.**מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה <math>a_n\to\infty</math> <videoflash>pTVTkSlxJdI</videoflash> *[[המספר e]] (הוכחות בעזרת [[אי-שוויון הממוצעים]]). <videoflash>v7tyKNPU-7I</videoflash> *<math>2<e<4</math>. <videoflash>6TohAEqQwsk</videoflash> ===תתי סדרות וגבולות חלקיים=======הגדרת גבול חלקי====*לכל סדרת מקומות <math>k_n\in\mathbb{N}</math> המקיימת לכל <math>n</math> כי <math>k_n<k_{n+1}</math> נגדיר כי <math>a_{k_n}</math> הינה תת סדרה של הסדרה <math>a_n</math>*שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים. *לדוגמא:**נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>**אזי <math>a_{2n}=(-1)^{2n}=1</math> היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים <math>k_n=2n</math> *נגדיר ש<math>L</math> הוא גבול חלקי של הסדרה <math>a_n</math> אם קיימת תת סדרה <math>a_{k_n}</math> כך ש <math>a_{k_n}\to L</math> *טענה - יהי <math>L</math> סופי או אינסופי, אזי:**<math>a_n\to L</math> אם ורק אם לכל תת סדרה <math>a_{k_n}</math> מתקיים כי <math>a_{k_n}\to L</math> <videoflash>rvdm2_7g-7I</videoflash> ====משפט בולצאנו-ויירשטראס====*לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית. *משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת. <videoflash>R491ZyCHhBs</videoflash> ====גבול עליון וגבול תחתון==== *תהי סדרה <math>a_n</math>*נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup):**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלעיל אזי <math>\overline{\lim}a_n=\infty</math>**אם <math>a_n</math> חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\overline{\lim}a_n</math> להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה**אחרת, נגדיר <math>\overline{\lim}a_n=-\infty</math>*נגדיר את הגבול התחתון שלה (liminf):**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלרע אזי <math>\underline{\lim}a_n=-\infty</math>**אם <math>a_n</math> חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\underline{\lim}a_n</math> להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה**אחרת, נגדיר <math>\underline{\lim}a_n=\infty</math> *לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי:*<math>\underline{\lim}a_n\leq L\leq \overline{\lim}a_n</math> <videoflash>n71Zy87PbEE</videoflash> *הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון). <videoflash>zF_5NdFJbAg</videoflash> *לכל <math>-\infty\leq L\leq \infty</math> מתקיים כי <math>a_n \to L</math> אם ורק אם <math>\underline{\lim}a_n=\overline{\lim}a_n=L</math> <videoflash>j4C_2yvKpN0</videoflash> ====תתי סדרות המכסות סדרה==== *אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה.*ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה. <videoflash>Y0Jpalk44do</videoflash> ===כלל הe=== *תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>(1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}\to e</math> <videoflash>y7yPjqyGOIg</videoflash> *אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}</math>**<math>a_n^{b_n}=\sqrtleft[n\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{n!b_n\cdot (a_n-1)}</math>.**<math>\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.**שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפס. *דוגמא:**<math>\inftylim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math> <videoflash>5V4EmQIdE90</videoflash>
===חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===
**<math>0^\infty = 0</math>
**אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
**יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
**אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
**אם <math>a>1</math> אזי <math>a^\infty=\infty</math>אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף**חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולותסדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף.**סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס.
====המקרים הבעייתיים====
**<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math>
===קריטריון קושי לסדרות===
*אם הגדרה: סדרה <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdotמקיימת את '''קריטריון קושי''' (a_n-1ונקראת '''סדרת קושי''')}</math>אם:**לכל מרחק <math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}varepsilon>0</math>.**קיים מקום <math>K\left(1+(a_n-1)in\right)^mathbb{\frac{1N}{a_n-1}}\to e</math> בין אם כך שאחריו לכל זוג מקומות <math>a_n-1</mathm> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.**שימו לב שאם <mathn>a_n=1K</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק במתקיים כי <math>a_n|a_m-1a_n|<\varepsilon</math> ששווה אפס(המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון).
*דוגמאמשפט:**<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math>בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי.
==פרק 3 - טורים==
===מבוא והגדרה===
<videoflash>E3DLm1YxOko</videoflash>
===התכנסות בהחלט===
===מבחני התכנסות לטורים חיוביים===
====מבחני ההשוואה====
====מבחני השורש והמנה====
====מבחן העיבוי====
===מבחני התכנסות לטורים כלליים===
====מבחן לייבניץ====
====מבחן דיריכלה====
===משפט רימן על שינוי סדר הסכימה===
===סיכום 🖖===
*כיצד נבחן אם הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?
#אם ניתן להראות כי <math>a_n\not\to 0</math> הטור מתבדר
# נבצע מבחני ספוק 🖖
##אם לפי מבחני ההשוואה (הראשון או הגבולי) הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
##אם במבחן המנה או השורש הגבול גדול מ1 הטור מתבדר, אם קטן מ1 הטור מתכנס בהחלט ואם שווה ל1 צריך לנסות משהו אחר.
##אם במבחן העיבוי הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
#אם לא מצאנו התכנסות בהחלט, נבצע מבחנים על טורים כלליים בשביל לבדוק התכנסות בתנאי
##מבחן לייבניץ
##מבחן דיריכלה
##עבודה ישירה על סדרת הסכומים החלקיים (טור טלסקופי למשל)
==פרק 4 - פונקציות ורציפות==
===מבוא לגבולות===
<videoflash>OMJWXoSIlX0</videoflash>
*מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
**<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math>
===הגדרת הגבול לפי קושי===
* <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סביבה של L בציר y קיימת סביבה של <math>x_0</math> בציר x, כך שלכל ערכי x בסביבה של <math>x_0</math> פרט אולי ל<math>x_0</math> עצמו, ערכי ציר y כלומר <math>f(x)</math> נמצאים בסביבה של L בציר y.
*דוגמאות:
**<math>\lim_{x\to 3} 2x+1=7</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0\neq |x-3|<\delta</math> מתקיים <math>|2x+1-7|<\varepsilon </math>
**<math>\lim_{x\to 2^-}\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}=-\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>2-\delta<x<2</math> מתקיים כי <math>\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}<-M</math>
**<math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית מימין של <math>f(x)</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>K>0</math> כך שלכל x המקיים <math>x>K</math> מתקיים כי <math>|f(x)-a|<\varepsilon</math>
<videoflash>YTA4sI56t1Y</videoflash>
===הגדרת הגבול לפי היינה===
*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0\neq a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0< a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0> a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
הגדרה זו שקולה להגדרה של קושי, כלומר הגבול שווה לL לפי קושי אם ורק אם הוא שווה לL לפי היינה.
*מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות
*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.*מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה ורק אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.<math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math> <videoflash>KKFyEBxM9yo</videoflash>
===הפונקציות הטריגונומטריות===
<videoflash>gnUkKM9PgPQ</videoflash>
*ראינו ש<math>\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1</math>.
*שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.
<videoflash>YIU0hc8xe7I</videoflash>
===רציפות===
*טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>.
<videoflash>9y7T2Nmpv24</videoflash>
*הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>.
**הוכחה:
