שינויים
/* רציפות */
=מבחנים ופתרונות=
*[[מדיה:19CSInfi1dumbtest.pdf|מבחן לדוגמא תש"ף]]
*[[מדיה:19CSInfi1A.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]]
**[[מדיה:19CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תש"ף]]
=סרטוני ותקציר ההרצאות=
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe פלייליסט של כל הסרטונים]
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hkSHBU2VSWetKIVS1oyDT2c פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א]
**<math>log_a(x^y)=y log_a(x)</math>
**<math>\log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}</math>
**<math>log_a(x)=y</math> אם ורק אם <math>x=a^y</math>
===חסמים===
*<math>L</math> הינו גבול הסדרה <math>a_n</math> (מסומן <math>\lim a_n=L</math> או <math>a_n\to L</math>) אם:
**לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
**לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>NK\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל <math>n>NK</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\varepsilon</math>
*נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>NK\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>NK</math> מתקיים כי <math>a_n>M</math>
*נגדיר ש<math>a_n\to -\infty</math> אם <math>-a_n\to\infty</math>
<videoflash>nHaq8E0vGJA</videoflash>
*תהי סדרה<math>a_n</math> המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל <math>n</math> כי <math>a<a_n</math> אזי <math>\lim a_n\geq a</math>
===שאיפה לאפס===
**אם <math>a>1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n \to \infty</math>
**אם <math>a<1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n\to 0</math>
*שימו לב כי ייתכן ו<math>1><a_n\to 1</math>, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.
<videoflash>hFa7Nv5o05M</videoflash>
===כלל המנה===
**תהי סדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי:
***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math>
***כלומר <math>L=0<a_1\leq L</math> בסתירה.
**מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה <math>a_n\to\infty</math>
<videoflash>pTVTkSlxJdI</videoflash>
*[[המספר e]] (הוכחות בעזרת [[אי-שוויון הממוצעים]]).
<videoflash>v7tyKNPU-7I</videoflash>
*<math>2<e<4</math>.
<videoflash>6TohAEqQwsk</videoflash> ===תתי סדרות וגבולות חלקיים=======הגדרת גבול חלקי====*אם לכל סדרת מקומות <math>a_nk_n\toin\inftymathbb{N}</math> אזי המקיימת לכל <math>\left(1+\fracn</math> כי <math>k_n<k_{n+1}</math> נגדיר כי <math>a_{k_n}</math> הינה תת סדרה של הסדרה <math>a_n</math>*שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים. *לדוגמא:**נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>**אזי <math>a_{2n}\right=(-1)^{2n}=1</math> היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים <math>k_n=2n</math> *נגדיר ש<math>L</math> הוא גבול חלקי של הסדרה <math>a_n</math> אם קיימת תת סדרה <math>a_{k_n}</math> כך ש <math>a_{k_n}\to eL</math> *טענה - יהי <math>L</math> סופי או אינסופי, אזי:**<math>[a_n]\leq a_n to L</math> אם ורק אם לכל תת סדרה <math>a_{k_n}</math> מתקיים כי <math>a_{k_n}\leq [to L</math> <videoflash>rvdm2_7g-7I</videoflash> ====משפט בולצאנו-ויירשטראס====*לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית. *משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת. <videoflash>R491ZyCHhBs</videoflash> ====גבול עליון וגבול תחתון==== *תהי סדרה <math>a_n]+1</math>, כאשר *נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup):**אם <math>[a_n]</math> הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה לאינה חסומה מלעיל אזי <math>\overline{\lim}a_n=\infty</math>.**אם <math>a_n</math> חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\left(1+\fracoverline{1\lim}{[a_n]+1}</math> להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה**אחרת, נגדיר <math>\right)^overline{[a_n]\lim}a_n=-\leq\leftinfty</math>*נגדיר את הגבול התחתון שלה (1+liminf):**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלרע אזי <math>\fracunderline{1\lim}{a_n}=-\right)^{infty</math>**אם <math>a_n}</math> חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\leq underline{\left(1+lim}a_n</math> להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה**אחרת, נגדיר <math>\fracunderline{1\lim}{[a_n]}=\right)^infty</math> *לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי:*<math>\underline{[\lim}a_n]+1\leq L\leq \overline{\lim}a_n</math> <videoflash>n71Zy87PbEE</videoflash> **שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לeהגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון). <videoflash>zF_5NdFJbAg</videoflash> *אם לכל <math>a_n\to -\infty\leq L\leq \infty</math> אזי מתקיים כי <math>a_n \left(1+to L</math> אם ורק אם <math>\fracunderline{1\lim}{a_n}=\right)^overline{a_n}\to elim}a_n=L</math> <videoflash>j4C_2yvKpN0</videoflash> ====תתי סדרות המכסות סדרה==== *אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה.*ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה. <videoflash>Y0Jpalk44do</videoflash> ===כלל הe=== *ראשית תהי <math>0\leftneq a_n\to 0</math> אזי <math>(1-+a_n)^{\frac{1}{na_n}\right)^{n}\to \frac{1}{e}</math> (הוכחה בקישור לערך על המספר e).**כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם. <videoflash>y7yPjqyGOIg</videoflash>
*דוגמא:
**<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math>
<videoflash>5V4EmQIdE90</videoflash>
===חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===
**<math>0^\infty = 0</math>
**אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
**יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
**אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
**אם <math>a>1</math> אזי <math>a^\infty=\infty</math>אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף**חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולותסדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף.**סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס.
====המקרים הבעייתיים====
**<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math>
===קריטריון קושי לסדרות===
*דוגמא: הסדרה <math>a_n===תתי סדרות וגבולות חלקיים===\sqrt{n}</math> מקיימת כי <math>a_{n+1}-a_n\to 0</math> אך היא אינה מתכנסת למספר סופי אלא שואפת לאינסוף. *הגדרה: סדרה <math>a_n</math> מקיימת את '''קריטריון קושי''' (ונקראת '''סדרת קושי''') אם:*לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל זוג מקומות <math>m>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math> (המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון). *משפט: בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי. *תרגיל: תהי סדרה המקיימת לכל n כי <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{1}{2^n}</math> אזי היא מתכנסת למספר סופי. <videoflash>S56cCgc9U38</videoflash>
==פרק 3 - טורים==
===מבוא והגדרה===
<videoflash>E3DLm1YxOko</videoflash>
===התכנסות בהחלט===
===מבחני התכנסות לטורים חיוביים===
====מבחני ההשוואה====
====מבחני השורש והמנה====
====מבחן העיבוי====
===מבחני התכנסות לטורים כלליים===
====מבחן לייבניץ====
====מבחן דיריכלה====
===משפט רימן על שינוי סדר הסכימה===
===סיכום 🖖===
*כיצד נבחן אם הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?
#אם ניתן להראות כי <math>a_n\not\to 0</math> הטור מתבדר
# נבצע מבחני ספוק 🖖
##אם לפי מבחני ההשוואה (הראשון או הגבולי) הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
##אם במבחן המנה או השורש הגבול גדול מ1 הטור מתבדר, אם קטן מ1 הטור מתכנס בהחלט ואם שווה ל1 צריך לנסות משהו אחר.
##אם במבחן העיבוי הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
#אם לא מצאנו התכנסות בהחלט, נבצע מבחנים על טורים כלליים בשביל לבדוק התכנסות בתנאי
##מבחן לייבניץ
##מבחן דיריכלה
##עבודה ישירה על סדרת הסכומים החלקיים (טור טלסקופי למשל)
==פרק 4 - פונקציות ורציפות==
===מבוא לגבולות===
<videoflash>OMJWXoSIlX0</videoflash>
*מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
**<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math>
===הגדרת הגבול לפי קושי===
* <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סביבה של L בציר y קיימת סביבה של <math>x_0</math> בציר x, כך שלכל ערכי x בסביבה של <math>x_0</math> פרט אולי ל<math>x_0</math> עצמו, ערכי ציר y כלומר <math>f(x)</math> נמצאים בסביבה של L בציר y.
*דוגמאות:
**<math>\lim_{x\to 3} 2x+1=7</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0\neq |x-3|<\delta</math> מתקיים <math>|2x+1-7|<\varepsilon </math>
**<math>\lim_{x\to 2^-}\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}=-\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>2-\delta<x<2</math> מתקיים כי <math>\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}<-M</math>
**<math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית מימין של <math>f(x)</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>K>0</math> כך שלכל x המקיים <math>x>K</math> מתקיים כי <math>|f(x)-a|<\varepsilon</math>
<videoflash>YTA4sI56t1Y</videoflash>
===הגדרת הגבול לפי היינה===
*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0\neq a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0< a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
*<math>\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0> a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math>
הגדרה זו שקולה להגדרה של קושי, כלומר הגבול שווה לL לפי קושי אם ורק אם הוא שווה לL לפי היינה.
*מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות
*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.*מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה ורק אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.<math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math> <videoflash>KKFyEBxM9yo</videoflash>
===הפונקציות הטריגונומטריות===
<videoflash>gnUkKM9PgPQ</videoflash>
*ראינו ש<math>\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1</math>.
*שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.
<videoflash>YIU0hc8xe7I</videoflash>
===רציפות===
*טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>.
<videoflash>9y7T2Nmpv24</videoflash>
*הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>.
**הוכחה:
