שינויים

*[[מדיה:מועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד א' החממה תשפ"א]], [[מדיה:Solמועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]*[[מדיה:מועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד ב' החממה תשפ"א]], [[מדיה:solמועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]*[[מדיה:21HamamaExmpTest.pdf|פתרון מבחן לדוגמא החממה תשפ"א]]* [[מדיה: Infi1 tihon 2019A.pdf |מבחן מועד א תשע"ט]], [[מדיה: Infi1 tihon 2019Asol.pdf |פתרון]] *[[מדיה:17Infi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1DumbTestSol.pdf|פתרון]]*[[מדיה:17Infi1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]]**, [[מדיה:17Infi1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשע"ז]]*[[מדיה:17Infi1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestBSol.pdf|פתרון]]*[[מדיה:Calc1_2016a_exam.pdf | מבחן מועד א' תשע"ו]].**, [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Infi2_76aSol.pdf פתרון המרצה], [[מדיה:Calc1_2016a_sols.pdf | פתרון המתרגלים]], [[מדיה:Calc1_2016a_sols_erez.pdf | פתרון ארז שיינר]]*[[מדיה:אינפי_1_-_מועד_א%27_תשעג.pdf|מבחן מועד א' תשע"ג]], [[מדיה:Infi1TashagMoedASol.pdf|פתרון]]*[[מדיה: infi1Exams3.pdf | מבחן מועד ב' תשע"ג]], [[מדיה: infi1Exams3Sol.pdf | פתרון חלקי]]*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה1|מבחן דמה למתמטיקאים תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestAsol.pdf|פתרון]]*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2|מבחן דמה נוסף תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestBsol.pdf|פתרון]]*[[מדיה: infi1Exams1.pdf | מועד מיוחד תשע"ב]], [[מדיה:tashabspecialtestsol.pdf|פתרון]]*[[מדיה: infi1Exams2.pdf | מועד א' תשע"ב]]**, [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים|פתרון מועד א' תשע"ב]]*[[מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב| מועד ב' למתמטיקאים תשע"בכולל פתרון]]*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'|פתרון מבחן מועד א' החממה תשע"אפתרון]]*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'|פתרון מבחן מועד ב' החממה תשע"אפתרון]]

*[[מדיה:21Infi1CSSummerA.pdf|מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]]*[[מדיה:21Infi1CSSummerB.pdf|מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]]*[[מדיה:infi1moedExmp2021CS.pdf|מבחן לדוגמא תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedExmp2021CSSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תשפ"א]]*[[מדיה:infi1moedA2021CS.pdf|מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedA2021CSSol.pdf|פתרון מועד א' תשפ"א]]*[[מדיה:infi1moedB2021CS.pdf|מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedB2021CSSol.pdf|פתרון מועד ב' תשפ"א]]*[[מדיה:infi1moedC2021CS.pdf|מועד ג' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedC2021CSSol.pdf|פתרון מועד ג' תשפ"א]]*[[מדיה:19CSInfi1dumbtest.pdf|מבחן לדוגמא תש"ף]], [[מדיה:19CSInfi1dumbtestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תש"ף]]*[[מדיה:19CSInfi1A.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]]**, [[מדיה:19CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תש"ף]] *[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמחמדיה:16CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מדמ"ח מועד אג' תשעב ופתרונותשע"ז]].

*[[מדיה:TashagInfiCsexmtest.pdf|מבחן דמה תשע"ג]], [[מדיה:TashagInfiCsexmtestSol.pdf|פתרון מבחן דמה תשע"ג]]*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח|מבחן מדמ"ח מועד א' תשעב ופתרונו]].

*<math>\sum_{k=12}^\infty\frac{1}{k\cdot\ln(k)}</math>

*<math>\sum_{k=12}^\infty\frac{1}{\ln(k!)}</math>

*תהי סדרה <math>b_n</math> כך ש'''ההססהסס"ח''' שלה חסומה, כלומר קיים <math>M>0</math> כך שלכל n מתקיים <math>|S_n|=\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|<M</math>

**<math>|D_m-D_n|\leq |a_m||S_m| + |a_{n+1}| |S_n | +\sum_{k=n+1}^{m-1} |S_k||a_k-a_{k+1}|</math>**כעת נשתמש בעובדה כי <math>|S_n|<M</math> לכל n , <math>a_n</math> סדרה חיובית, וכן <math>a_n - a_{n+1}\geq 0</math> לכל n.

===סכום האיברים החיוביים, וסכום האיברים השליליים===*תהי סדרה <math>a_n</math> ונגדיר את:**<math>a_n^+=\begin{cases}a_n & a_n\geq 0\\ 0 & a_n<0\end{cases}</math>**<math>a_n^-=\begin{cases}0 & a_n\geq 0\\ -a_n & a_n<0\end{cases}</math>  *<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math>*<math>|a_n|=a_n^++a_n^-</math>  *הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בהחלט אם ורק אם הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם.*אם הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בתנאי אזי הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתבדרים שניהם ושואפים לאינסוף.  *כפי שהוכחנו בעבר בדרך שונה, אם הטור מתכנס בהחלט נובע ש<math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם, וביחד עם העובדה ש<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math> נובע שהטור מתכנס.  <videoflash>XEl8ZykrNcw</videoflash> ===שינוי סדר הסכימה=== *תהי <math>f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</math> פונקציה הפיכה ותהי סדרה <math>a_n</math> אז נאמר ש<math>b_np_n=a_{f(n)}</math> היא שינוי סדר של הסדרה <math>a_n</math>.  *תרגיל - אם <math>a_n\to L</math> גם שינוי הסדר מקיים <math>p_n\to L</math> 

**<math>f(n)=1,3,2,5,7,4,69,511,6,...</math>**<math>b_np_n=a_{f(n)}=1,1,-1,1,1,-1,...</math>

*נסמן ב<math>D_n</math> את הסס"ח של שינוי הסדר <math>b_np_n</math>, מתקיים כי:

<videoflash>ASXMi-rBCv0</videoflash>  ====משפט רימן====*משפט רימן - יהי טור מתכנס בתנאי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =L</math> אזי לכל <math>-\infty\leq M S \leq \infty</math> קיים שינוי סדר כך ש <math>\sum_{k=1}^\infty b_kp_k=MS</math>

<videoflash>e_tBsPs5vq4</videoflash> ====שינוי סדר הסכימה של טור מתכנס בהחלט====*יהי טור מתכנס בהחלט <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =LS</math> אזי לכל שינוי סדר <math>b_np_n</math> מתקיים כי <math>\sum_{k=1}^\infty b_kp_k=LS</math>

*תרגיל - אם <mathvideoflash>a_n\to LGG76LdzRvKo</math> גם שינוי הסדר מקיים <math>b_n\to L</mathvideoflash>

*מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית, חילוק פולינומים).

*חזקהישר:**<math>(x^\alpha)'=\alpha x^displaystyle{\alpha-1}</math> לכל <math>lim_{h\alpha\in \mathbb{Rto 0}</math>, הוכחה בהמשך.***בפרט: ***<math>(1)'=0</math>***<math>(\frac{1}{x})' = (x^{-1}+h)'=-\frac{1}{x^2}</math>***<math>(\sqrt{xh})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>

תהי f g גזירה ב<math>x_0</math> ותהי g f הגזירה ב<math>fg(x_0)</math>:*<math>(gf\circ fg)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(g(x))-g(f(g(x_0))}{x-x_0}</math>

*רוצים לומר ש<math>\frac{g(f(g(x_n))-f(g(f(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(g(x_n))-f(g(f(x_0))}{fg(x_n)-fg(x_0)}\cdot \frac{fg(x_n)-fg(x_0)}{x_n-x_0}\to gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>.*אמנם <math>fg(x_n)\to fg(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>fg(x_n)\neq fg(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>fg(a_n)=fg(x_0)</math> אזי <math>\frac{fg(a_n)-fg(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>fg'(x_0)=0</math>.*לכן <math>gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)=0</math>.*כמו כן, <math>\frac{g(f(g(a_n))-g(f(g(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{g(f(g(x_n))-g(f(g(x_0))}{x_n-x_0}\to gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>*סה"כ <math>(gf\circ fg)'(x_0)=gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>.

*===משפט ערך הביניים===*תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כאשר <math>a<b\in\mathbb{R}</math>.*עוד נניח כי <math>f(a)\leq 0</math> וכן <math>f(b)\geq 0</math>.*אזי קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=0</math>  

<videoflash>pZXEn6KWtMY</videoflash>  ===משפטי ויירשטראס===*משפט פרמהפונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.  <videoflash>FPlpOmNQiAE</videoflash>  ===משפט פרמה===*אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.**ההפך אינו נכון, ייתכן שהנגזרת תתאפס אך בנקודה לא יהיה קיצון ואף לא פיתול.* <videoflash>Vlsum5uohMo</videoflash> ===משפט רול.===**תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=0</math>*כלומר, פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח.* *לפולינום מדרגה n יש לכל היותר n שורשים שונים.* <videoflash>hmdp_jj9fx0</videoflash> ===משפט לגראנז'.ותחומי עלייה וירידה=== *פונקציה f נקראת עולה בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\leq f(x_2)</math>*פונקציה f נקראת יורדת בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\geq f(x_2)</math>  *תהי f רציפה בקטע סגורב<math>[a, b]</math> וגזירה בקטע הפתוח מקבלת את ב<math>(a,b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>*כלומר קיימת נקודה בה השיפוע שווה לשיפוע המיתר בין שתי נקודות הקצה בנגזרת בנק' כלשהיהנקודות בקצוות הקטע.  *תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי f עולה בקטע <math>[a,b]</math> אם ורק אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>*כמו כן, באותם תנאים, אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אזי <math>f(a)<f(b)</math> או שהפונקציה קבועה ב<math>[a,b]</math> ונגזרתה שווה אפס בקטע <math>(a,b)</math>  <videoflash>3DXDneBUnK8</videoflash>  *דוגמא*יהי <math>a\in\mathbb{R}</math> מצאו כמה פתרונות יש למשוואה <math>sin(x)=x+a</math>  <videoflash>zX9XkY_mdDQ</videoflash>  ===משפט קושי (לגראנז' המוכלל.)=== **שתי פונקציות תהיינה f,g רציפות בקטע סגורב<math>[a, גזירות b]</math> וגזירות ב<math>(a,b)</math> כך ש<math>g'\neq 0</math> בקטע הפתוח<math>(a, והנגזרת של האחת אינה מתאפסתb)</math>. *אזי מנת הנגזרות שווה למנת השיפועים בנקקיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>\frac{f' מסויימת.(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>

 <videoflash>PTtcansFGJQ</videoflash> ===קשר בין הנגזרת לפונקציה[[כלל לופיטל]]===*פונקציה גזירה עולה אם"ם הנגזרת שלה גדולה תהיינה פונקציות כך ש <math>f,g\to 0</math> או שווה אפס.<math>f,g\to \infty</math> ונניח כי <math>\frac{f'}{g'}\to L</math> אזי גם <math>\frac{f}{g}\to L</math>  <videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash>  ====משפט סדרי הגודל==== *פונקציה עולה ממש אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפסלכל <math>0<a, ולא מתאפסת על קטע.b</math> מתקיים כי:  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{(e^x)^b} =0} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{\ln^b(x)} =\infty} </math>  ====דוגמאות נוספות==== *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)} =-\frac{1}{\pi}} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x}{sin(x)+2+x} =1} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} xe^{\frac{1}{x}} =\infty} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \sqrt[x]{x} =1} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x\ln(x) =0} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x^x =1} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}+\ln(x) =\infty} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\sin(x)\right)^{\tan^2(x)} =\frac{1}{\sqrt{e}}} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to(-\infty)} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =-1} </math>   ====הוכחת כלל לופיטל בשני המקרים====  <videoflash>bqLDkGRLUYI</videoflash>