<videoflash>Hf14pSb3zDM</videoflash>
===מבחן המנה===
*מבחן המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]).
**תהי סדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי:
***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math>
***אם <math>0\leq L<1</math> מתקיים כי <math>a_n\to 0</math>
***מתקיים כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\to L</math>
===אינדוקציה=== *משפט האינדוקציה המתמטית*דוגמאתהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:**הטענה הראשונה נכונה.**לכל <math>\sqrt[n]\in \mathbb{nN}\to 1</math>אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.*אזי כל הטענות בסדרה נכונות
===גבולות של חזקות===
*אי שיוויון ברנולי: יהי <math>-1<x\in\mathbb{R}</math> אזי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(1+x)^n\geq 1+nx</math>
<videoflash>n6xkPhKmhQo</videoflash>
*מסקנה: תהי <math>0<a_n\to a</math> אזי:
**אם <math>a>1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n \to \infty</math>
**אם <math>a<1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n\to 0</math>
*שימו לב כי ייתכן ו<math>1>a_n\to 1</math>, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.
<videoflash>hFa7Nv5o05M</videoflash>
*יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to 0</math> אזי <math>a^{b_n}\to 1</math>
====אינדוקציה=מבחן המנה===
*משפט האינדוקציה המתמטיתמבחן המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]).**תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאיםסדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי:**הטענה הראשונה נכונה.**לכל אם <math>n1<L\in leq\mathbb{N}infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math>***אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+<math>0\leq L<1 מתקיימת.</math> מתקיים כי <math>a_n\to 0</math>*אזי כל הטענות בסדרה נכונות**מתקיים כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\to L</math>
*אי שיוויון ברנולידוגמא: יהי **<math>-1<x\in\mathbbsqrt[n]{R}</math> אזי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(1+x)^n\geq to 1+nx</math> <videoflash>n6xkPhKmhQo</videoflash>
*מסקנה: תהי <math>0<a_n\to a</math> אזי:
**אם <math>a>1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n \to \infty</math>
**אם <math>a<1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n\to 0</math>
*שימו לב כי ייתכן ו<math>1>a_n\to 1</math>, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.
<videoflash>hFa7Nv5o05M</videoflash>
===חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===