שינויים

תהי f g גזירה ב<math>x_0</math> ותהי g f הגזירה ב<math>fg(x_0)</math>:*<math>(gf\circ fg)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(g(x))-g(f(g(x_0))}{x-x_0}</math>

*רוצים לומר ש<math>\frac{g(f(g(x_n))-f(g(f(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(g(x_n))-f(g(f(x_0))}{fg(x_n)-fg(x_0)}\cdot \frac{fg(x_n)-fg(x_0)}{x_n-x_0}\to gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>.*אמנם <math>fg(x_n)\to fg(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>fg(x_n)\neq fg(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>fg(a_n)=fg(x_0)</math> אזי <math>\frac{fg(a_n)-fg(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>fg'(x_0)=0</math>.*לכן <math>gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)=0</math>.*כמו כן, <math>\frac{g(f(g(a_n))-g(f(g(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{g(f(g(x_n))-g(f(g(x_0))}{x_n-x_0}\to gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>*סה"כ <math>(gf\circ fg)'(x_0)=gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>.