<math>\sigma = \sqrt{{{1} \over {N-1}} \sum_{i=1}^N {(x_i-\bar {x})^2}} </math>
השגיאה הסטטיסטית המקסימאלית תהיה <math>{\sigma} \over {\sqrt{N}}</math>. השגיאה הכוללת משלבת בתוכה את שני סוגי השגיאות האקראיות, שגיאת המכשיר, <math>\Delta_e</math>, והסטטיסטית, כך שהיא תוגדר להיות:<math>\Delta x=\sqrt{\Delta_e^2+{{\sigma^2} \over {N}}}</math> דוגמא: בניסוי שבו נשקלה מסה מסוימת 5 פעמים, התקבלו מדידות ממשקל דיגטלי עם רגישות של 0.1 גרם:8.1, 8.3, 7.8, 7.5, 8, התוצאות בגרמים. נחשב את הממוצע: <math>\bar{x} = {{1} \over {N}} \sum_{i=1}^N x_i =7.97g</math> נחשב את סטיית התקן: <math>\sigma = \sqrt{{{1} \over {N-1}} \sum_{i=1}^N {(x_i-\bar {x})^2}}=0.3067g</math> השגיאה הסטטיסטית תהיה: <math>{{\sigma} \over {\sqrt{N}}}=0.1372g</math>. והשגיאה הכוללת: <math>\Delta x=\sqrt{\Delta_e^2+{{\sigma^2} \over {N}}}=\sqrt{0.1^2+0.1372^2} =0.1697g</math> ==רישום התוצאות== כאשר השגיאה שיצאה מהחישובים מדייקת דיוק גדול יותר משגיאת המדידה, נעגל את השגיאה לשתי הספרות המשמעותיות ביותר, כלומר השמאליות ביותר השונות מ-<math>0</math>. בדוגמא שלנו נאמר כי השגיאה ב-mks תהיה <math>0.00017kg</math>. ברור שהגודל הנמדד יוצג בניקוי דיוק הגבוה מזה של השגיאה, כיוון שאין משמעות לגודל של <math>7.994527654576521462g</math> כאשר שגיאת מדידה היא <math>0.1g</math> (גם אם כך התקבל במחשבון...) ==חישובי שגיאה של גדלים עקיפים== בסעיפים הקודמים דיברנו על השיטות להערכת שגיאה של גדלים הנמדדים ישירות באמצעות מכשירי המדידה. לדוגמה, אורך הנמדד בסרגל או זמן הנמדד באמצעות שעון הם גדלים הנמדדים ישירות. לעתים קרובות אנו מעוניינים לא רק בגדלים הנמדדים עצמם, אלה גם בגדלים עקיפים שהם פונקציות של הגדלים הנמדדים ישירות. לדוגמא: אנו מודדים זווית בעזרת מד-זווית, אולם לצורך חישובים כלשהם אנו מעוניינים בסינוס של הזווית ולא בזווית עצמה. אנו מעוניינים למדוד שטח של מלבן, לשם כך אנו מודדים בסרגל את אורכו ורוחבו, ומכפילים אותם זה בזה. כאן, השטח הוא פונקציה (מכפלה) של האורך והרוחב. מכיוון שהגודל העקיף הוא פונקציה של הגדלים הנמדדים ישירות, ברור ששגיאה במדידת הגדלים הישירים תגרום לשגיאה בהערכת הגודל העקיף. בניסוח מתמטי , אנו מעוניינים לענות על השאלה: אם <math>f</math> הוא פונקציה מסוימת של גדלים שונים <math>x,y,z...</math> ושגיאותיהם של הגדלים האלו הן <math>\Delta x,\Delta y,\Delta z...</math> , מהי השגיאה <math>\Delta f</math> ? נניח שידועות לנו צורת הפונקציה <math> f(x,y,z...)</math>, תוצאות המדידה <math>x,y,z...</math> ושגיאותיהן <math>\Delta x,\Delta y,\Delta z...</math> . כדי לענות על שאלתנו עכשיו, ננסה לענות קודם על שאלה פשוטה יותר: נניח שרק <math>x</math> משתנה ב- <math>\Delta x</math>, וכל שאר הגדלים <math>y,z...</math> נשארים קבועים, מהו השינוי ב- <math>f</math> הנגרם רק על-ידי השינוי ב- <math>x</math> ? (נסמן שינוי זה של <math>f</math> ב- <math>\Delta_x f</math>). כיוון שהגדלים <math>x,y,z...</math> אינם משתנים, אפשר להתייחס ל- <math>f</math> כאילו היא פונקציה של <math>x</math> , ולגזור אותה: נגזרת כזו, המתקבלת כתוצאה מגזירת פונקציה רבת-משתנים ביחס למשתנה אחד בלבד, כאשר מתייחס לכל שאר המשתנים כאילו היו קבועים, נקראת בשם נגזרת חלקית ומסומנת כך: <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> . כלומר השינוי בפונקציה <math>f</math> כתוצאה משגיאה של <math>\Delta x</math> במשתנה <math>x</math>, תהיה: <math>\Delta_x f=\left| \frac{\partial f }{\partial x}\right| \Delta x</math> ובאופן דומה: <math>\Delta_y f=\left| \frac{\partial f }{\partial y}\right| \Delta y</math> , <math>\Delta_z f=\left| \frac{\partial f }{\partial z}\right| \Delta z</math> וכו'. לאחר שחישבנו את גודלם של השינויים ...<math>\Delta_y f</math> ,<math>\Delta_x f</math> (נכנה שינוים אלו בשם '''השגיאות החלקיות'''), נחזור לשאלה המקורית: מהו השינוי <math>\Delta f</math> הנגרם בגלל השינויים בכל הגדלים <math>x,y,z...</math>? אנו מניחים שהשגיאות החלקיות קטנות, ולכן אפשר להתעלם מהשפעתו של השינוי של אחד מהגדלים האלו על גודלן של השגיאות על גודלן של השגיאות החלקיות הנגרמות בגלל שאר הגדלים. לכן, השינוי של כל אחד מהגדלים <math>x,y,z...</math> יסיט את ערכה של הפונקציה <math>f</math> כלפי מעלה או מטה בכמות השווה לגודלה של השגיאה החלקית המתאימה שחישבנו. במקרה הגרוע ביותר, שבו כל השגיאות החלקיות מסיטות את <math>f</math> לאותו כיוון, יהיה גודל השינוי של <math>f</math> שווה לסכום כל השגיאות החלקיות, כלומר: <math>\Delta f= \Delta_x f+ \Delta_y f+...=\left| \frac{\partial f }{\partial x}\right| \Delta x+\left| \frac{\partial f }{\partial y}\right| \Delta y+...</math> אולם הערכה זו היא פסימית מדי. ראשית, הערכות השגיאה שלנו הן מקסימליות, וברוב המקרים תהיה השגיאה האמיתית במדידת <math>x</math> קטנה מהערכה <math>\Delta x</math> . הסיכוי לכך שכל השגיאות יקבלו בבת-אחת את ערכן המקסימלי הוא קטן. שנית, מכיוון שאנו עוסקים בשגיאות אקראיות, חלק מהשגיאות של הגדלים הנמדדים ישירות יגדילו את ערכו של <math>f</math> ואחרות יקטינו אותו. לכן, הערכת השגיאה הכללית כסכום השגיאות היא מוגזמת. הערך הסביר יותר של <math>\Delta f</math> הוא שורש סכום הריבועים של השגיאות החלקיות, כלומר: <math>\Delta f= \sqrt {(\frac{\partial f }{\partial x} \Delta x)^2+(\frac{\partial f }{\partial y} \Delta y)^2+...}</math> (ויתרנו על הערך המוחלט משום שהעלאה בריבוע מבטלת את הסימן). במעבדה נשתמש בנוסחה זו.