שינויים
/* שלמות הממשיים */
===רעיון ההוכחה===
* נסמן ב<math>S</math> את האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד ששייכים ל<math>A</math>, כלומר <math>S=\cup_{x\in A} x</math>
*נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד.
*ברור כי האיחוד *<math>S</math> אינה ריקה***<math>A</math> אינה ריקה, ולכן קיים <math>x\in A</math>. ***כיוון ש<math>x</math> חתך דדקינד הוא אינו ריק.***<math>x\subseteq S</math> ולכן <math>S</math> אינה ריקה**<math>S</math> חסומה:***כיוון ש<math>M</math> חסם מלעיל של הקבוצה <math>A</math> לכל <math>x\in A</math> מתקיים כי <math>x\leq M</math>***לפי יחס הסדר מתקיים כי <math>x\subseteq M</math>. ***כיוון שהוא מכיל את שלכל <math>x\in A</math> מתקיים כי <math>x\subseteq M</math> נובע כי גם <math>S\subseteq M</math>.***לכן <math>S</math> חסומה מלעיל.**נוכיח כי <math>x\in S</math> אם ורק אם <math>x</math> אינו חסם מלעיל של <math>S</math>***אם <math>x\in S</math> אזי <math>x\in D\in A</math>***אם <math>x</math> חסם מלעיל של <math>S</math> אזי הוא בפרט חסם מלעיל של <math>D</math> בסתירה.***מצד שני, אם <math>m</math> חסם מלעיל של <math>S</math> הוא בפרט חסם מלעיל של כל איברי הקבוצה<math>A</math> ולכן אינו שייך לאף אחד מאיברי <math>A</math> ולכן אינו שייך ל<math>S</math> *ברור כי לכל <math>x\in A</math> מתקיים כי <math>x\leq S</math> כיוון ש<math>x\subseteq S</math> (כל קבוצה מוכלת באיחוד).
*נוכיח כי האיחוד הוא חסם עליון של הקבוצה.
