שינויים
/* תכונות שדה סדור */
*יהיו זוג חתכים <math>A\leq B</math> ויהי חתך <math>C</math> חיובי. צ"ל כי <math>AC\leq BC</math>
**ראשית נניח כי A,B חתכים חיוביים
***יהי <math>0<ac\in AC</math> כאשר <math>0<a,c</math>.
***כיוון ש <math>A\subseteq B</math> נובע כי <math>a\in B</math> ולכן <math>ac\in BC</math>.
**כעת נניח כי A שלילי ואילו B חיובי (המצב ההפוך סותר את הנתונים)
***לפי הגדרת הכפל <math>AC=-((-A)C)</math> הוא חתך שלילי, ולכן בוודאי קטן מהחתך החיובי <math>BC</math>
*לבסוף נניח כי A,B חתכים שליליים
*ראשית נוכיח טענת עזר: <math>A\leq B</math> אם ורק אם <math>-A\geq -B</math>
** בכיוון אחד, נתון כי <math>A\leq B</math> ורוצים להוכיח כי <math>-A\geq -B</math>
***יהי <math>x\in -B</math>, כלומר קיים חסם <math>m\not\in B</math> כך ש <math>x<m</math>
***כיוון ש<math>A\leq B</math> נובע כי <math>m\not\in A</math> ולכן <math>x\in -A</math>
**בכיוון השני, נשתמש בכיוון הראשון ובעובדה כי <math>-(-A)=A</math>
*כעת נחזור להוכחה:
*מהנתון נובע כי <math>-A\geq -B</math>
*כבר הוכחנו עבור חתכים חיוביים כי נובע ש <math>(-A)C\geq (-B)C</math>
*לכן <math>-((-A)C)\leq -((-B)C)</math>
*כלומר הוכחנו <math>AC\leq BC</math>
==שלמות הממשיים==
