שינויים

**בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה. זה משול לחצי האבוקדו ללא הגרעין.**בחתך המייצג מספר שאינו רציונאלי, כמו שורש שתיים, גם במשלים של החתך אין מספר קטן ביותר, זה משול לשני חצאי אבוקדו ללא גרעין כלל.

==פעולות בין חיבור חתכי דדקינד== ===חיבור===

===חתך האפס=נגדי== *נגדיר את חתך האפס:**<math>0_D=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<0\right\}</math>  *נוכיח כי חתך האפס נייטרלי לחיבור:**יהי חתך דדקינד <math>A</math> צריך להוכיח כי <math>A+0_D=A</math>**נבצע הכלה דו כיוונית. בכיוון הראשון:***יהי <math>x=a+h\in A+0_D</math> צריך להוכיח כי <math>x\in A</math>***כיוון ש <math>h\in 0_D</math> נובע לפי ההגדרה כי <math>h<0</math> ולכן <math>a+h<a</math>***לכן <math>x=a+h</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> ולכן <math>x\in A</math>**בכיוון השני:***יהי <math>a\in A</math> צריך להוכיח כי <math>a\in A+0_D</math>***אמרנו כי בחתך דדקינד אין איבר גדול ביותר, ולכן קיים <math>a<b\in A</math>***כיוון ש <math>a-b<0</math> נובע כי <math>a-b\in 0_D</math>***סה"כ <math>a=b+(a-b)\in A+0_D</math> כפי שרצינו. ===נגדי===

**הנגדי לא ריק: ***כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן <math>-A\neq\emptyset</math>**הנגדי חסום מלעיל: ***יהי <math>a\in A</math> לכן לכל <math>m\notin A</math> מתקיים כי <math>a<m</math> ולכן <math>-m<-a</math>***לכל <math>x\in -A</math> קיים <math>m\notin A</math> כך ש <math>x<-m</math> ולכן <math>x<-a</math>***בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של <math>-A</math>.**כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:***לכל איבר בנגדי <math>x<-m</math> לכן אמצע הקטע בין <math>x,-m</math> גדול מ<math>x</math> וקטן מ<math>-m</math> ולכן שייך לנגדי <math>-A</math> ולכן <math>x</math> אינו חסם מלעיל.**אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:***נניח <math>y</math> אינו חסם מלעיל של <math>-A</math> לכן קיים <math>y<x\in -A</math> ולכן קיים <math>m\notin A</math> כך ש <math>y<x<-m</math> ולכן <math>y\in -A</math>  ====הוכחה שאכן מדובר באיבר נגדי====*יהי חתך <math>A</math> צריך להוכיח כי <math>A+(-A)=0_D</math>*נבצע הכלה דו כיוונית*בכיוון ראשון:**יהי <math>x+y\in (A+(-A))</math>. **כיוון ש<math>y\in (-A)</math> קיים <math>m\not\in A</math> כך ש <math>y<-m</math>**לכן <math>x+y<m+y<0</math>**לכן <math>x+y\in 0_D</math>*בכיוון שני:**יהי <math>t\in 0_D</math> כלומר <math>t<0</math>**רוצים למצוא <math>a\in A, b\in (-A)</math> כך ש <math>a+b=t</math>**נבחר <math>m\not\in A</math> כך ש<math>m+\frac{t}{2}\in A</math>***מדוע זה אפשרי? כי אם <math>m+\frac{t}{2}\not\in A</math> אז זה חסם, ואפשר להוסיף לו <math>\frac{t}{2}</math> שזה מספר שלילי. אחרי מספיק פעמים נהיה קטנים מאיבר בקבוצה**כעת <math>-m+\frac{t}{2}<-m</math> ולכן <math>-m+\frac{t}{2}\in (-A)</math>.**סה"כ <math>t=(m+\frac{t}{2})+(-m+\frac{t}{2})\in A+(-A)</math> ==יחס סדר== *יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד*הוכחה:**יהיו שני חתכים A,B.**אם קיים <math>m\notin A</math> חסם מלעיל של A כך ש<math>m\in B</math> אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר <math>A\subseteq B</math>**אחרת, לכל <math>m\notin A</math> מתקיים כי <math>m\notin B</math>. כלומר <math>\overline{A}\subseteq\overline{B}</math> ולכן <math>B\subseteq A</math>  *נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש<math>0_D < A</math> ונגדיר את החתכים השליליים על ידי <math>0_D > A</math>  *טענה: <math>A\geq 0_D</math> אם ורק אם <math>-A\leq 0_D</math>*הוכחה:** ראשית נניח כי <math>A\geq 0_D</math> ***כלומר בעצם <math>0_D\subseteq A</math> ולכן לכל חסם מלעיל <math>m\notin A</math> מתקיים כי <math>0\leq m</math>.***לכן לכל <math>x\in -A</math> מתקיים כי <math>x<-m<0</math>***כלומר כל האיברים ב<math>-A</math> שליליים, ולכן <math>-A\subseteq 0_D</math> כלומר <math>-A\leq 0_D</math>**בכיוון ההפוך, נניח כי <math>-A\leq 0_D</math>***לכן כל האיברים ב<math>-A</math> שליליים.***אם קיים <math>0>m\notin A</math> אזי <math>0<-\frac{m}{2}\in -A</math> בסתירה.**לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר <math>0_D\subseteq A</math> ולכן <math>A\geq 0_D</math> ==כפל חתכי דדקינד== *יהיו שני חתכי דדקינד '''אי שליליים''' <math>0_D\leq A,B</math>, נגדיר את הכפל:**<math>A\cdot B =\left\{x\cdot y|x\in A\setminus 0_D \wedge y\in B\setminus 0_D\right\}\cup 0_D</math>*אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר:**<math>A\cdot B = - ((-A)\cdot B)</math>*אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר:**<math>A\cdot B = - (A\cdot (-B))</math>*אם A,B שליליים נגדיר:**<math>A\cdot B = (-A)\cdot (-B)</math> ===הוכחה שהמכפלה נותנת חתך דדקינד===*יהיו שני חתכי דדקינד חיוביים <math>0_D< A,B</math>   *ברור שהמכפלה לא ריקה כיוון ש <math>0_D\subseteq A\cdot B</math>  *כיוון שA,B חתכי דדקינד מדובר בקבוצות חסומות, אז קיימים חסמי מלעיל <math>m_A,m_B</math> בהתאמה.*לכל <math>xy\in AB</math> מתקיים כי <math>x<m_A,y<m_B</math> ולכן <math>xy<m_A\cdot m_B</math>. זה נכון כי החסמים חיוביים, כי מדובר בחתכים חיוביים.  *אם <math>t\in AB</math> צ"ל כי <math>t</math> אינו חסם מלעיל של <math>AB</math>.*אם <math>t\leq 0</math> ברור שאינו חסם מלעיל של <math>AB</math> כיוון שיש בקבוצה מספרים חיוביים.*לכן <math>t=xy\in AB</math>.*כיוון ש<math>x</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> קיים <math>x<z\in A</math> ולכן <math>xy<zy\in A</math> בסתירה.  *אם <math>t\not\in AB</math> צ"ל כי <math>t</math> חסם מלעיל.*נב"ש כי <math>t</math> אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו.*כיוון ש <math>t\not\in AB</math> נובע כי <math>t>0</math>, ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה <math>t<xy</math>.*לכן <math>\frac{t}{y}<x</math>, נבחר <math>x_1 =\frac{t}{y}<x</math>.*כיוון ש<math>x_1 <x</math> נובע כי <math>x_1 \in A</math>.*לכן <math>t=x_1 y\in A\cdot B</math> בסתירה.  *אם אחד החתכים הוא <math>0_D</math> קל להוכיח כי מכפלתם היא <math>0_D</math> ולכן מהווה חתך. ===חתך היחידה===*נגדיר את חתך היחידה, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לכפל.*<math>1_D=\{x\in\mathbb{Q}|x<1\}</math> ===הופכי===*אם A חיובי נגדיר את ההופכי שלו להיות*<math>A^{-1}=\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\not\in A:x<\frac{1}{m}\}</math>*אם A שלילי נגדיר את ההופכי שלו להיות*<math>A^{-1}=-(-A)^{-1}</math>  ====הוכחה שההופכי הוא חתך דדקינד====*נניח A חיובי, ויהי <math>0<a\in A</math>.*לכל חסם <math>m\not\in A</math> מתקיים כי <math>a<m</math>*לפיכך <math>\frac{1}{m}<\frac{1}{a}</math>*לכן <math>\frac{1}{a}</math> הוא חסם מלעיל של <math>A^{-1}</math>  *ברור כי <math>A^{-1}</math> אינו ריק, כי לA יש חסם מלעיל, וכל מספר שקטן ממהופכי שלו שייך ל<math>A^{-1}</math>  *נוכיח כי כל מספר ב<math>A^{-1}</math> אינו חסם מלעיל.*אם <math>x<\frac{1}{m}\in A^{-1}</math> אז גם אמצע הקטע <math>x<y<\frac{1}{m}\in A^{-1}</math>  *לבסוף, יהי <math>x</math> שאינו חסם מלעיל של <math>A^{-1}</math>*לכן <math>x<y\in A^{-1}</math> *והרי קיים חסם של A כך ש <math>y<\frac{1}{m}</math>*ולכן גם <math>x<\frac{1}{m}</math> ולכן <math>x\in A^{-1}</math>  ====הוכחה שאכן מדובר בהופכי====*יהי A חיובי, נוכיח כי <math>A^{-1}A=1</math>  *ראשית, נוכיח כי <math>A^{-1}A\leq 1</math>**יהי <math>0<xa\in A^{-1}A</math>**<math>x\in A^{-1}</math>, לכן קיים חסם מלעיל <math>m\not\in A</math> כך ש <math>x<\frac{1}{m}</math>**כמובן ש <math>a<m</math>**ביחד <math>xa<\frac{1}{m}\cdot m=1</math>.  *כעת נוכיח כי <math>A^{-1}A\geq 1</math>*צ"ל כי אפשר לבחור איבר <math>xa\in A^{-1}A</math> הקרוב ל1 כרצוננו.*נבחר <math>0<a\in A, m\not\in A</math> כך ש <math>a,m</math> קרובים כרצוננו (אפשרי כי מכל זוג של מספר וחסם אפשר להחליף אחד מהם באמצע הקטע).*נבחר <math>x<\frac{1}{m}</math> כך ש<math>x,\frac{1}{m}</math> קרובים כרצוננו.*סה"כ <math>1-xa=m\cdot \frac{1}{m}-a\cdot \frac{1}{m}+a\cdot \frac{1}{m}-ax=\frac{1}{m}(m-a)+a(\frac{1}{m}-x)</math>*כיוון שקבוצת החסמים <math>m</math> חסומה מלמטה ע"י איברי חיובי מA, וכיוון שאפשר לקרב את <math>m-a</math> כרצוננו לאפס, סה"כ אפשר לקרב את ההפרש הזה כרצוננו לאפס, כפי שרצינו.  *לבסוף, אם <math>A</math> שלילי, <math>A^{-1}=-(-A)^{-1}</math>*לכן <math>A^{-1}A=-(-A)^{-1}\cdot A = (-A)^{-1}\cdot (-A)=1</math>**המעבר האחרון הוא לפי הגדרת הכפל עבור חתכים שליליים. =שדה הממשיים= ==הגדרת המספרים הממשיים==*הגדרה: <math>\mathbb{R}</math> הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.  ==שדה הממשיים הוא סדר סדור==*נוכיח שמדובר ב[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%93%D7%95%D7%A8 שדה סדור] ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל.  ===הוכחה=== ====תכונות השדה====*סגירות - הוכחנו לעיל שסכום חתכים הוא חתך, וכן כפל חתכים הוא חתך*חילופיות - טריוויאלי מחילופיות החיבור והכפל ברציונאליים.*אסוציאטיביות - טריוויאלי מאסוציאטיביות החיבור והכפל ברציונאליים.*נייטרלים - הגדרנו איברים נייטרלים לעיל ואפילו הוכחנו שהם אכן נייטרלים*נגדיים - הגדרנו והוכחנו לעיל*הופכיים - הגדרנו והוכחנו לעיל*פילוג - נובע מפילוג הרציונאליים  ====תכונות שדה סדור====*איזוטוניות ביחס לסכום:**יהיו חתכים A,B,C כך ש<math>A\leq B</math> צ"ל כי <math>A+C\leq B+C</math>**נתון כי <math>A\subseteq B</math> צ"ל כי <math>A+C\subseteq B+C</math>**יהי <math>a+c\in A+C</math>, לכן <math>a\in B</math> ולכן <math>a+c\in B+C</math>.  *יהיו זוג חתכים <math>A\leq B</math> ויהי חתך <math>C</math> חיובי. צ"ל כי <math>AC\leq BC</math>**ראשית נניח כי A,B חתכים חיוביים***יהי <math>0<ac\in AC</math> כאשר <math>0<a,c</math>.***כיוון ש <math>A\subseteq B</math> נובע כי <math>a\in B</math> ולכן <math>ac\in BC</math>.**כעת נניח כי A שלילי ואילו B חיובי (המצב ההפוך סותר את הנתונים)***לפי הגדרת הכפל <math>AC=-((-A)C)</math> הוא חתך שלילי, ולכן בוודאי קטן מהחתך החיובי <math>BC</math>   *לבסוף נניח כי A,B חתכים שליליים*ראשית נוכיח טענת עזר: <math>A\leq B</math> אם ורק אם <math>-A\geq -B</math>** בכיוון אחד, נתון כי <math>A\leq B</math> ורוצים להוכיח כי <math>-A\geq -B</math>***יהי <math>x\in -B</math>, כלומר קיים חסם <math>m\not\in B</math> כך ש <math>x<m</math>***כיוון ש<math>A\leq B</math> נובע כי <math>m\not\in A</math> ולכן <math>x\in -A</math>**בכיוון השני, נשתמש בכיוון הראשון ובעובדה כי <math>-(-A)=A</math>  *כעת נחזור להוכחה:*מהנתון נובע כי <math>-A\geq -B</math>*כבר הוכחנו עבור חתכים חיוביים כי נובע ש <math>(-A)C\geq (-B)C</math>*לכן <math>-((-A)C)\leq -((-B)C)</math>*כלומר הוכחנו <math>AC\leq BC</math> ==שלמות הממשיים==*תהי <math>\emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R}</math> קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, וחסומה מלעיל (כלומר קיים <math>M\in\mathbb{R}</math> כך ש<math>\forall a\in A:a\leq M</math>. אזי קיים ל<math>A</math> חסם עליון ממשי. ===הוכחה===* נסמן ב<math>S</math> את האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד ששייכים ל<math>A</math>, כלומר <math>S=\cup_{x\in A} x</math>  *נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד.**<math>S</math> אינה ריקה***<math>A</math> אינה ריקה, ולכן קיים <math>x\in A</math>. ***כיוון ש<math>x</math> חתך דדקינד הוא אינו ריק.***<math>x\subseteq S</math> ולכן <math>S</math> אינה ריקה**<math>S</math> חסומה:***כיוון ש<math>M</math> חסם מלעיל של <math>A</math> לכל <math>x\in A</math> מתקיים כי <math>x\leq M</math>***לפי יחס הסדר מתקיים כי <math>x\subseteq M</math>. ***כיוון שלכל <math>x\in A</math> מתקיים כי <math>x\subseteq M</math> נובע כי גם <math>S\subseteq M</math>.***לכן <math>S</math> חסומה מלעיל.**נוכיח כי <math>x\in S</math> אם ורק אם <math>x</math> אינו חסם מלעיל של <math>S</math>***אם <math>x\in S</math> אזי <math>x\in D\in A</math>***אם <math>x</math> חסם מלעיל של <math>S</math> אזי הוא בפרט חסם מלעיל של <math>D</math> בסתירה.***מצד שני, אם <math>m</math> חסם מלעיל של <math>S</math> הוא בפרט חסם מלעיל של כל איברי <math>A</math> ולכן אינו שייך לאף אחד מאיברי <math>A</math> ולכן אינו שייך ל<math>S</math>  *ברור כי לכל <math>x\in A</math> מתקיים כי <math>x\leq S</math> כיוון ש<math>x\subseteq S</math> (כל קבוצה מוכלת באיחוד).  *נוכיח כי <math>S</math> הוא החסם העליון של <math>A</math>.*נב"ש כי קיים <math>T</math> חסם מלעיל של <math>A</math> כך ש <math>T<S</math>.*לכן קיים <math>x\in S\setminus T</math>.*לכן קיים <math>D\in A</math> כך ש <math>x\in D</math>.*לכן <math>D\not\subseteq T</math> בסתירה לכך ש<math>T</math> חסם מלעיל של <math>A</math> ==ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים== *ייצוג עשרוני הוא זוג של סדרת הספרות (פונקציה מהטבעיים אל קבוצת הספרות 0-9) ומספר טבעי שהוא מיקום של הספרה העשרונית.*נרצה להתאים לכל ייצוג עשרוני מספר ממשי, נגדיר אותו להיות החסם העליון של כל תתי הפיתוחים העשרוניים הסופיים של המספר.**אם <math>a_n</math> היא סדרת הספרות ו<math>k</math> הוא מיקום הנקודה העשרונית נגדיר את המספר להיות:**<math>\sup \{10^k \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{10^i}|n\in\mathbb{N} \}</math>  *דוגמא פשוטה:*עבור הסדרה הקבועה <math>a_n =9</math>, ומיקום הנקודה העשרונית <math>k=0</math> נקבל את הייצוג העשרוני <math>0.999...</math>*לפי ההגדרה לעיל יוצא כי:**<math>0.999...=\sup \{0,0.9,0.99,0.999,...\}</math>  *קל להוכיח כי החסם העליון של קבוצה זו הוא 1.*1 הוא חסם מלעיל של הקבוצה*לכל מספר קטן מ1 יש איבר בקבוצה שגדול ממנו, כי סדרת איברי הקבוצה שואפת ל1.*מסקנה: <math>1=0.999...</math>