שינויים
/* חתך האפס */
===חתך האפס===
*נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.:**<math>0_D=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<0\right\}</math>
*נוכיח כי חתך האפס נייטרלי לחיבור:
**יהי חתך דדקינד <math>A</math> צריך להוכיח כי <math>A+0_D=A</math>
**נבצע הכלה דו כיוונית. בכיוון הראשון:
***יהי <math>x=a+h\in A+0_D</math> צריך להוכיח כי <math>x\in A</math>
***כיוון ש <math>h\in 0_D</math> נובע לפי ההגדרה כי <math>h<0</math> ולכן <math>a+h<a</math>
***לכן <math>x=a+h</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> ולכן <math>x\in A</math>
**בכיוון השני:
***יהי <math>a\in A</math> צריך להוכיח כי <math>a\in A+0_D</math>
***אמרנו כי בחתך דדקינד אין איבר גדול ביותר, ולכן קיים <math>a<b\in A</math>
***כיוון ש <math>a-b<0</math> נובע כי <math>a-b\in 0_D</math>
***סה"כ <math>a=b+(a-b)\in A+0_D</math> כפי שרצינו.
===נגדי===
***נניח <math>y</math> אינו חסם מלעיל של <math>-A</math> לכן קיים <math>y<x\in -A</math> ולכן קיים <math>m\notin A</math> כך ש <math>y<x<-m</math> ולכן <math>y\in -A</math>
====הוכחה שאכן מדובר באיבר נגדי====
*יהי חתך <math>A</math> צריך להוכיח כי <math>A+(-A)=0_D</math>
*נבצע הכלה דו כיוונית
*בכיוון ראשון:
**יהי <math>x+y\in (A+(-A))</math>.
**כיוון ש<math>y\in (-A)</math> קיים <math>m\not\in A</math> כך ש <math>y<-m</math>
**לכן <math>x+y<m+y<0</math>
**לכן <math>x+y\in 0_D</math>
*בכיוון שני:
**יהי <math>t\in 0_D</math> כלומר <math>t<0</math>
**רוצים למצוא <math>a\in A, b\in (-A)</math> כך ש <math>a+b=t</math>
**נבחר <math>m\not\in A</math> כך ש<math>m+\frac{t}{2}\in A</math>
***מדוע זה אפשרי? כי אם <math>m+\frac{t}{2}\not\in A</math> אז זה חסם, ואפשר להוסיף לו <math>\frac{t}{2}</math> שזה מספר שלילי. אחרי מספיק פעמים נהיה קטנים מאיבר בקבוצה
**כעת <math>-m+\frac{t}{2}<-m</math> ולכן <math>-m+\frac{t}{2}\in (-A)</math>.
**סה"כ <math>t=(m+\frac{t}{2})+(-m+\frac{t}{2})\in A+(-A)</math>
==יחס סדר==
**<math>A\cdot B = (-A)\cdot (-B)</math>
===הוכחה שהמכפלה נותנת חתך דדקינד===
*יהיו שני חתכי דדקינד חיוביים <math>0_D< A,B</math>
*ברור שהמכפלה לא ריקה כיוון ש <math>0_D\subseteq A\cdot B</math>
*כיוון שA,B חתכי דדקינד מדובר בקבוצות חסומות, אז קיימים חסמי מלעיל <math>m_A,m_B</math> בהתאמה.
*לכל <math>xy\in AB</math> מתקיים כי <math>x<m_A,y<m_B</math> ולכן <math>xy<m_A\cdot m_B</math>. זה נכון כי החסמים חיוביים, כי מדובר בחתכים חיוביים.
*אם <math>t\in AB</math> צ"ל כי <math>t</math> אינו חסם מלעיל של <math>AB</math>.
*אם <math>t\leq 0</math> ברור שאינו חסם מלעיל של <math>AB</math> כיוון שיש בקבוצה מספרים חיוביים.
*לכן <math>t=xy\in AB</math>.
*כיוון ש<math>x</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> קיים <math>x<z\in A</math> ולכן <math>xy<zy\in A</math> בסתירה.
*אם <math>t\not\in AB</math> צ"ל כי <math>t</math> חסם מלעיל.
*נב"ש כי <math>t</math> אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו.
*כיוון ש <math>t\not\in AB</math> נובע כי <math>t>0</math>, ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה <math>t<xy</math>.
*לכן <math>\frac{t}{y}<x</math>, נבחר <math>x_1 =\frac{t}{y}<x</math>.
*כיוון ש<math>x_1 <x</math> נובע כי <math>x_1 \in A</math>.
*לכן <math>t=x_1 y\in A\cdot B</math> בסתירה.
*אם אחד החתכים הוא <math>0_D</math> קל להוכיח כי מכפלתם היא <math>0_D</math> ולכן מהווה חתך.
===חתך היחידה===
*אם A שלילי נגדיר את ההופכי שלו להיות
*<math>A^{-1}=-(-A)^{-1}</math>
====הוכחה שההופכי הוא חתך דדקינד====
*נניח A חיובי, ויהי <math>0<a\in A</math>.
*לכל חסם <math>m\not\in A</math> מתקיים כי <math>a<m</math>
*לפיכך <math>\frac{1}{m}<\frac{1}{a}</math>
*לכן <math>\frac{1}{a}</math> הוא חסם מלעיל של <math>A^{-1}</math>
*ברור כי <math>A^{-1}</math> אינו ריק, כי לA יש חסם מלעיל, וכל מספר שקטן ממהופכי שלו שייך ל<math>A^{-1}</math>
*נוכיח כי כל מספר ב<math>A^{-1}</math> אינו חסם מלעיל.
*אם <math>x<\frac{1}{m}\in A^{-1}</math> אז גם אמצע הקטע <math>x<y<\frac{1}{m}\in A^{-1}</math>
*לבסוף, יהי <math>x</math> שאינו חסם מלעיל של <math>A^{-1}</math>
*לכן <math>x<y\in A^{-1}</math>
*והרי קיים חסם של A כך ש <math>y<\frac{1}{m}</math>
*ולכן גם <math>x<\frac{1}{m}</math> ולכן <math>x\in A^{-1}</math>
====הוכחה שאכן מדובר בהופכי====
*יהי A חיובי, נוכיח כי <math>A^{-1}A=1</math>
*ראשית, נוכיח כי <math>A^{-1}A\leq 1</math>
**יהי <math>0<xa\in A^{-1}A</math>
**<math>x\in A^{-1}</math>, לכן קיים חסם מלעיל <math>m\not\in A</math> כך ש <math>x<\frac{1}{m}</math>
**כמובן ש <math>a<m</math>
**ביחד <math>xa<\frac{1}{m}\cdot m=1</math>.
*כעת נוכיח כי <math>A^{-1}A\geq 1</math>
*צ"ל כי אפשר לבחור איבר <math>xa\in A^{-1}A</math> הקרוב ל1 כרצוננו.
*נבחר <math>0<a\in A, m\not\in A</math> כך ש <math>a,m</math> קרובים כרצוננו (אפשרי כי מכל זוג של מספר וחסם אפשר להחליף אחד מהם באמצע הקטע).
*נבחר <math>x<\frac{1}{m}</math> כך ש<math>x,\frac{1}{m}</math> קרובים כרצוננו.
*סה"כ <math>1-xa=m\cdot \frac{1}{m}-a\cdot \frac{1}{m}+a\cdot \frac{1}{m}-ax=\frac{1}{m}(m-a)+a(\frac{1}{m}-x)</math>
*כיוון שקבוצת החסמים <math>m</math> חסומה מלמטה ע"י איברי חיובי מA, וכיוון שאפשר לקרב את <math>m-a</math> כרצוננו לאפס, סה"כ אפשר לקרב את ההפרש הזה כרצוננו לאפס, כפי שרצינו.
*לבסוף, אם <math>A</math> שלילי, <math>A^{-1}=-(-A)^{-1}</math>
*לכן <math>A^{-1}A=-(-A)^{-1}\cdot A = (-A)^{-1}\cdot (-A)=1</math>
**המעבר האחרון הוא לפי הגדרת הכפל עבור חתכים שליליים.
=שדה הממשיים=
==הגדרת המספרים הממשיים==
*הגדרה:**<math>\mathbb{R}</math> הוא קבוצת כל חתכי דדקינד. ==שדה הממשיים הוא סדר סדור==*נוכיח שמדובר ב[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%93%D7%95%D7%A8 שדה סדור] ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל. ===הוכחה=== ====תכונות השדה====*סגירות - הוכחנו לעיל שסכום חתכים הוא חתך, וכן כפל חתכים הוא חתך*חילופיות - טריוויאלי מחילופיות החיבור והכפל ברציונאליים.*אסוציאטיביות - טריוויאלי מאסוציאטיביות החיבור והכפל ברציונאליים.*נייטרלים - הגדרנו איברים נייטרלים לעיל ואפילו הוכחנו שהם אכן נייטרלים*נגדיים - הגדרנו והוכחנו לעיל*הופכיים - הגדרנו והוכחנו לעיל*פילוג - נובע מפילוג הרציונאליים ====תכונות שדה סדור====*איזוטוניות ביחס לסכום:**יהיו חתכים A,B,C כך ש<math>A\leq B</math> צ"ל כי <math>A+C\leq B+C</math>**נתון כי <math>A\subseteq B</math> צ"ל כי <math>A+C\subseteq B+C</math>**יהי <math>a+c\in A+C</math>, לכן <math>a\in B</math> ולכן <math>a+c\in B+C</math>. *יהיו זוג חתכים <math>A\leq B</math> ויהי חתך <math>C</math> חיובי. צ"ל כי <math>AC\leq BC</math>**ראשית נניח כי A,B חתכים חיוביים***יהי <math>0<ac\in AC</math> כאשר <math>0<a,c</math>.***כיוון ש <math>A\subseteq B</math> נובע כי <math>a\in B</math> ולכן <math>ac\in BC</math>.**כעת נניח כי A שלילי ואילו B חיובי (המצב ההפוך סותר את הנתונים)***לפי הגדרת הכפל <math>AC=-((-A)C)</math> הוא חתך שלילי, ולכן בוודאי קטן מהחתך החיובי <math>BC</math>
*לבסוף נניח כי A,B חתכים שליליים
*ראשית נוכיח טענת עזר: <math>A\leq B</math> אם ורק אם <math>-A\geq -B</math>
** בכיוון אחד, נתון כי <math>A\leq B</math> ורוצים להוכיח כי <math>-A\geq -B</math>
***יהי <math>x\in -B</math>, כלומר קיים חסם <math>m\not\in B</math> כך ש <math>x<m</math>
***כיוון ש<math>A\leq B</math> נובע כי <math>m\not\in A</math> ולכן <math>x\in -A</math>
**בכיוון השני, נשתמש בכיוון הראשון ובעובדה כי <math>-(-A)=A</math>
*כעת נחזור להוכחה:
*מהנתון נובע כי <math>-A\geq -B</math>
*כבר הוכחנו עבור חתכים חיוביים כי נובע ש <math>(-A)C\geq (-B)C</math>
*לכן <math>-((-A)C)\leq -((-B)C)</math>
*כלומר הוכחנו <math>AC\leq BC</math>
==שלמות הממשיים==
*לכן קיים <math>D\in A</math> כך ש <math>x\in D</math>.
*לכן <math>D\not\subseteq T</math> בסתירה לכך ש<math>T</math> חסם מלעיל של <math>A</math>
==ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים==
*ייצוג עשרוני הוא זוג של סדרת הספרות (פונקציה מהטבעיים אל קבוצת הספרות 0-9) ומספר טבעי שהוא מיקום של הספרה העשרונית.
*נרצה להתאים לכל ייצוג עשרוני מספר ממשי, נגדיר אותו להיות החסם העליון של כל תתי הפיתוחים העשרוניים הסופיים של המספר.
**אם <math>a_n</math> היא סדרת הספרות ו<math>k</math> הוא מיקום הנקודה העשרונית נגדיר את המספר להיות:
**<math>\sup \{10^k \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{10^i}|n\in\mathbb{N} \}</math>
*דוגמא פשוטה:
*עבור הסדרה הקבועה <math>a_n =9</math>, ומיקום הנקודה העשרונית <math>k=0</math> נקבל את הייצוג העשרוני <math>0.999...</math>
*לפי ההגדרה לעיל יוצא כי:
**<math>0.999...=\sup \{0,0.9,0.99,0.999,...\}</math>
*קל להוכיח כי החסם העליון של קבוצה זו הוא 1.
*1 הוא חסם מלעיל של הקבוצה
*לכל מספר קטן מ1 יש איבר בקבוצה שגדול ממנו, כי סדרת איברי הקבוצה שואפת ל1.
*מסקנה: <math>1=0.999...</math>
