שינויים
/* חתך האפס */
===חתך האפס===
*נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.:**<math>0_D=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<0\right\}</math>
*נוכיח כי חתך האפס נייטרלי לחיבור:
**יהי חתך דדקינד <math>A</math> צריך להוכיח כי <math>A+0_D=A</math>
**נבצע הכלה דו כיוונית. בכיוון הראשון:
***יהי <math>x=a+h\in A+0_D</math> צריך להוכיח כי <math>x\in A</math>
***כיוון ש <math>h\in 0_D</math> נובע לפי ההגדרה כי <math>h<0</math> ולכן <math>a+h<a</math>
***לכן <math>x=a+h</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> ולכן <math>x\in A</math>
**בכיוון השני:
***יהי <math>a\in A</math> צריך להוכיח כי <math>a\in A+0_D</math>
***אמרנו כי בחתך דדקינד אין איבר גדול ביותר, ולכן קיים <math>a<b\in A</math>
***כיוון ש <math>a-b<0</math> נובע כי <math>a-b\in 0_D</math>
***סה"כ <math>a=b+(a-b)\in A+0_D</math> כפי שרצינו.
===נגדי===
==ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים==
*ייצוג עשרוני הוא זוג של סדרת הספרות (פונקציה מהטבעיים אל קבוצת הספרות 0-9) ומספר טבעי שהוא מיקום של הספרה העשרונית.
*נרצה להתאים לכל ייצוג עשרוני מספר ממשי, נגדיר אותו להיות החסם העליון של כל תתי הפיתוחים העשרוניים הסופיים של המספר.
**אם <math>a_n</math> היא סדרת הספרות ו<math>k</math> הוא מיקום הנקודה העשרונית נגדיר את המספר להיות:
**<math>\sup \{10^k \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{10^i}|n\in\mathbb{N} \}</math>
*דוגמא פשוטה:
*עבור הסדרה הקבועה <math>a_n =9</math>, ומיקום הנקודה העשרונית <math>k=0</math> נקבל את הייצוג העשרוני <math>0.999...</math>
*לפי ההגדרה לעיל יוצא כי:
**<math>0.999...=\sup \{0,0.9,0.99,0.999,...\}</math>
*קל להוכיח כי החסם העליון של קבוצה זו הוא 1.
*1 הוא חסם מלעיל של הקבוצה
*לכל מספר קטן מ1 יש איבר בקבוצה שגדול ממנו, כי סדרת איברי הקבוצה שואפת ל1.
*מסקנה: <math>1=0.999...</math>
