שינויים
*אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה <math>x^2=2</math> (שורש שתיים).
*הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את '''חתכי דדקינד'''.
*'''הגדרה''': חתך דדקינד הוא קבוצה <math>A\subseteq\mathbb{Q}</math> המקיימת:
*עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר ב[[שדה]].
*כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.
==פעולות בין חתכי דדקינד==
===חיבור===
*יהיו שתי חתכים <math>A,B</math>, נגדיר את החיבור:
**<math>A+B=\left\{a+b|a\in A,b\in B\right\}</math>
*החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
**כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
**סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
**יהי <math>a+b\in A+B</math>, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים <math>a<c\in A</math> וכן <math>b<d\in B</math> ולכן <math>a+b<c+d\in A+B</math> ו<math>a+b</math> אינו חסם מלעיל של <math>A+B</math>
**יהי <math>m\in\mathbb{Q}</math> שאינו חסם מלעיל של <math>A+B</math>, לכן קיימים <math>m<a+b\in A+B</math>. כעת <math>m-a<b</math> כלומר <math>m-a</math> אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ <math>m=a+(m-a)\in A+B</math>.
