שינויים
יצירת דף עם התוכן "=שיטות אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}= ==דוגמה 0== פתור <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>. ===פתרון=== נשתמש בשיטת הה..."
=שיטות אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}=
==דוגמה 0==
פתור <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>.
===פתרון===
נשתמש בשיטת ההצבה (כי אנו יודעים לפתור את האינטגרל <math>\int e^y\mathrm dy</math>).
{|
{{=|l=\int e^\sqrt x\mathrm dx
|r=\int 2ye^y\mathrm dy
|c=נציב <math>y=\sqrt x\implies x=y^2\implies \mathrm dx=2y\mathrm dy</math> ולכן:
}}
{{=|r=y\cdot e^y-\int e^y\mathrm dy
|c=אינטגרציה בחלקים:
}}
{{=|r=y e^y-e^y+c
}}
{{=|r=\sqrt x e^\sqrt x-e^\sqrt x+c
}}
|}
{{משל}}
==אינטגרלים של פונקציות רציונליות==
נמצא אינטגרלים לפונקציות מהצורה <math>\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. למשל, האינטגרלים <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}</math> ו-<math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-1}</math>. פתרון שני האינטגרלים יכול להיות שונה כי האינטגרל הראשון אי-פריק ב-<math>\mathbb R</math>, בעוד שהשני כן פריק.
===דוגמה 1===
נפתור <math>I=\int\frac x{x^2-4x+8}\mathrm dx</math>.
====נפתור====
באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל-<math>\ln</math> (כי <math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx=\ln|f(x)|+c</math>. ואכן, אם <math>f(x)=x^2-4x+8</math> אז <math>f'(x)=2x-4</math>. נשנה את המונה כך שיהיה <math>f'(x)</math>:
{|
{{=|l=I
|r=\frac12\int\frac{2x-4+4}{x^2-4x+8}\mathrm dx
}}
{{=|r=\frac12\int\frac{2x-4}{x^2-4x+8}+2\int\frac1{x^2-4x+8}\mathrm dx
}}
{{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)^2+4}
|c=כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל-<math>\arctan</math> (<math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}</math>):
{{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\frac12\arctan\left(\frac{x-2}2\right)+c
|c=לפי הנוסחה <math>\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)</math>
}}
|}
{{משל}}
----
לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו <math>\frac1{(x-a)(x-b)}=\frac A{x-a}+\frac B{x-b}</math>.
===דוגמה 2===
נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4}</math>.
====פתרון====
קל לראות שהמכנה פריק ושווה ל-<math>(x-2)(x+2)</math>. עתה מחפשים A,B כנ"ל ומקבלים <math>A=\frac14,\ B=-\frac14</math>. לכן האינטגרל הוא <math>\frac14\int\left(\frac1{x-2}-\frac1{x+2}\right)\mathrm dx=\frac14(\ln|x-2|-\ln|x+2|)+c</math>. {{משל}}
===דוגמה 3===
נמצא <math>\int\frac{2x+4}{x^3-2x^2}\mathrm dx</math>.
====פתרון====
<math>x^3-2x^2=x^2(x-2)</math> ולכן נחשב <math>\int\frac{-2x(x-2)-1(x-2)+2x^2}{x^2(x-2)}\mathrm dx=-2\int\frac{\mathrm dx}x-\int\frac{\mathrm dx}{x^2}+2\int\frac{\mathrm dx}{x-2}=-2\ln|x|+\frac2x+2\ln|x-2|+c</math>. {{משל}}
===דוגמה 4===
נחשב <math>\int\frac{x^2+x-2}{3x^3-x^2+3x-1}\mathrm dx</math>.
====פתרון====
אפשר לראות שהמכנה שווה ל-<math>(3x-1)(x^2+1)</math>. ברור כי עבור <math>3x-1</math> השורש הוא 0, בעוד של-<math>x^2+1</math> אין שורשים ממשיים. לכן יש למצוא A,B עבורם האינטגרל הוא <math>\frac A{3x-1}+\frac B{x^2+1}</math>. נקבל <math>A=-\frac75,\ B=\frac45,\ C=\frac35</math> ולכן האינטגרל הוא <math>-\frac75\int\frac{\mathrm dx}{3x-1}+\frac45\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx+\frac35\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}=-\frac7{15}\ln|3x-1|+\frac25\ln(x^2+1)+\frac35\arctan(x)+c</math>. {{משל}}
----
'''כלל:''' כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים.
===דוגמה 5===
<math>\int\frac{x^4-x^3-x-1}{x^3-x^2}\mathrm dx</math>
====פתרון====
נחלק:
{{left|
<math>\begin{align}\overset{x}{\overline{x^4&-x^3&-x&-1}|x^3-x^2}\\\underline{x^4&-x^3}\\&&-x&-1\end{align}</math>
}}
ולכן יש לפתור את האינטגרל <math>\int\left(x-\frac{x+1}{x^3-x^2}\right)\mathrm dx=\int x\mathrm dx-\int\frac{-2x(x-1)-x(x-1)+2x^2}{x^2(x-1)}\mathrm dx=\frac{x^2}2-\int\frac{2\mathrm dx}x^2}-\int\frac{\mathrm dx}{x^2}+\int\frac{2\mathrm dx}{x-1}=-2\ln|x|+\frac1x+2\ln|x-1|+c</math>
==דוגמה 0==
פתור <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>.
===פתרון===
נשתמש בשיטת ההצבה (כי אנו יודעים לפתור את האינטגרל <math>\int e^y\mathrm dy</math>).
{|
{{=|l=\int e^\sqrt x\mathrm dx
|r=\int 2ye^y\mathrm dy
|c=נציב <math>y=\sqrt x\implies x=y^2\implies \mathrm dx=2y\mathrm dy</math> ולכן:
}}
{{=|r=y\cdot e^y-\int e^y\mathrm dy
|c=אינטגרציה בחלקים:
}}
{{=|r=y e^y-e^y+c
}}
{{=|r=\sqrt x e^\sqrt x-e^\sqrt x+c
}}
|}
{{משל}}
==אינטגרלים של פונקציות רציונליות==
נמצא אינטגרלים לפונקציות מהצורה <math>\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. למשל, האינטגרלים <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}</math> ו-<math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-1}</math>. פתרון שני האינטגרלים יכול להיות שונה כי האינטגרל הראשון אי-פריק ב-<math>\mathbb R</math>, בעוד שהשני כן פריק.
===דוגמה 1===
נפתור <math>I=\int\frac x{x^2-4x+8}\mathrm dx</math>.
====נפתור====
באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל-<math>\ln</math> (כי <math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx=\ln|f(x)|+c</math>. ואכן, אם <math>f(x)=x^2-4x+8</math> אז <math>f'(x)=2x-4</math>. נשנה את המונה כך שיהיה <math>f'(x)</math>:
{|
{{=|l=I
|r=\frac12\int\frac{2x-4+4}{x^2-4x+8}\mathrm dx
}}
{{=|r=\frac12\int\frac{2x-4}{x^2-4x+8}+2\int\frac1{x^2-4x+8}\mathrm dx
}}
{{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)^2+4}
|c=כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל-<math>\arctan</math> (<math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}</math>):
{{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\frac12\arctan\left(\frac{x-2}2\right)+c
|c=לפי הנוסחה <math>\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)</math>
}}
|}
{{משל}}
----
לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו <math>\frac1{(x-a)(x-b)}=\frac A{x-a}+\frac B{x-b}</math>.
===דוגמה 2===
נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4}</math>.
====פתרון====
קל לראות שהמכנה פריק ושווה ל-<math>(x-2)(x+2)</math>. עתה מחפשים A,B כנ"ל ומקבלים <math>A=\frac14,\ B=-\frac14</math>. לכן האינטגרל הוא <math>\frac14\int\left(\frac1{x-2}-\frac1{x+2}\right)\mathrm dx=\frac14(\ln|x-2|-\ln|x+2|)+c</math>. {{משל}}
===דוגמה 3===
נמצא <math>\int\frac{2x+4}{x^3-2x^2}\mathrm dx</math>.
====פתרון====
<math>x^3-2x^2=x^2(x-2)</math> ולכן נחשב <math>\int\frac{-2x(x-2)-1(x-2)+2x^2}{x^2(x-2)}\mathrm dx=-2\int\frac{\mathrm dx}x-\int\frac{\mathrm dx}{x^2}+2\int\frac{\mathrm dx}{x-2}=-2\ln|x|+\frac2x+2\ln|x-2|+c</math>. {{משל}}
===דוגמה 4===
נחשב <math>\int\frac{x^2+x-2}{3x^3-x^2+3x-1}\mathrm dx</math>.
====פתרון====
אפשר לראות שהמכנה שווה ל-<math>(3x-1)(x^2+1)</math>. ברור כי עבור <math>3x-1</math> השורש הוא 0, בעוד של-<math>x^2+1</math> אין שורשים ממשיים. לכן יש למצוא A,B עבורם האינטגרל הוא <math>\frac A{3x-1}+\frac B{x^2+1}</math>. נקבל <math>A=-\frac75,\ B=\frac45,\ C=\frac35</math> ולכן האינטגרל הוא <math>-\frac75\int\frac{\mathrm dx}{3x-1}+\frac45\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx+\frac35\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}=-\frac7{15}\ln|3x-1|+\frac25\ln(x^2+1)+\frac35\arctan(x)+c</math>. {{משל}}
----
'''כלל:''' כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים.
===דוגמה 5===
<math>\int\frac{x^4-x^3-x-1}{x^3-x^2}\mathrm dx</math>
====פתרון====
נחלק:
{{left|
<math>\begin{align}\overset{x}{\overline{x^4&-x^3&-x&-1}|x^3-x^2}\\\underline{x^4&-x^3}\\&&-x&-1\end{align}</math>
}}
ולכן יש לפתור את האינטגרל <math>\int\left(x-\frac{x+1}{x^3-x^2}\right)\mathrm dx=\int x\mathrm dx-\int\frac{-2x(x-1)-x(x-1)+2x^2}{x^2(x-1)}\mathrm dx=\frac{x^2}2-\int\frac{2\mathrm dx}x^2}-\int\frac{\mathrm dx}{x^2}+\int\frac{2\mathrm dx}{x-1}=-2\ln|x|+\frac1x+2\ln|x-1|+c</math>
