שינויים
יצירת דף עם התוכן "דוגמה נוספת ל-<math>\int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx</math>: <math>\int\frac{7\cos^3(x)\sin^2(x)-5\sin^4(x)}{2\cos^5(x)\sin^4(x)+4}\mathrm dx</math> י..."
דוגמה נוספת ל-<math>\int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx</math>: <math>\int\frac{7\cos^3(x)\sin^2(x)-5\sin^4(x)}{2\cos^5(x)\sin^4(x)+4}\mathrm dx</math>
יש הצבה אוניברסלית: מציבים <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> לכן <math>\mathrm dx=\frac{2\mathrm dt}{t^2+1}</math> וכן <math>\cos(x)=\frac{t^2-1}{t^2+1}</math> ו-<math>\sin(x)=\frac{2t}{t^2+1}</math>. האינטגרל הופך לאינטגרל של פונקציה רציונלית של t (שאפשר לחשב עם שברים חלקיים).
==דוגמאות===
#<math>\int\frac{8\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}\mathrm dx</math>: נציב t כנ"ל ונקבל <math>\int\frac{8\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=\int\frac{16t-1+t^2}{2t+2-2t^2}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=-\int\frac{t^2+16t-1}{(t^2-t-1)(1+t^2)}\mathrm dt</math> ומכאן פותרים בשברים חלקיים. '''גישה יותר חכמה:''' מתקיים <math>R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x))</math> ולכן נגדיר <math>t=\tan(x)\implies \mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{1+t^2}</math>. האינטגרל הוא <math>\int\frac{t\tan(x)-1}{\tan(x)+2}\mathrm dx=\int\frac{8t-1}{t+2}\cdot\frac{\mathrm dt}{1+t^2}</math>. פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט.
#<math>\int\sec(x)\mathrm dx</math> ועם <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> זה שווה ל-<math>\int\frac{1+t^2}{1-t^2}\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\int\left(\frac1{1-t}+\frac1{1+t}\right)\mathrm dt=-\ln|1-t|+\ln|1+t|+c=\ln\left|\frac{1+\tan\left(\frac x2\right)}{1-\tan\left(\frac x2\right)}\right|</math>. גישה אחרת: <math>\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx</math> נציב <math>y=\sin(x)</math> והאינטגרל הוא <math>\int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy=\frac12\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right|+c</math>. דרך המלך: <math>\int\frac{\sec(x)(\sec(x)+\tan(x))}{\sec(x)+\tan(x)}\mathrm dx=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c</math>.
#<math>\int\sec^3(x)\mathrm dx</math> נציב <math>t=\tan(x/2)</math> ונקבל <math>\int\frac{(1+t^2)^3}{(1-t^2)^3}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}</math> וניתן לעשות זאת, אבל זה לא נעים. דרך אחרת: <math>\int\frac{\cos(x)}{\cos^4(x)}\mathrm dx</math> ונציב <math>y=\sin(x)</math>. נקבל <math>\int\frac{\mathrm dy}{(1-y^2)^2}</math> וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים. דרך המלך: <math>\int\sec^3(x)\mathrm dx=\int\sec(x)(1+\tan^2(x))\mathrm dx=\int\sec(x)\mathrm dx+\int\sec(x)\tan(x)\mathrm dx</math> נציב <math>y=\sin(x)</math> ושוב הגענו ל-<math>\int\frac{\mathrm dy}{(1-y^2)^2}</math>. ניסיון אחרון: <math>\int\sec(x)\sec^2(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)-\int\tan(x)\sec(x)\tan(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)-\int\sec(x)(\sec^2(x)-1)\mathrm dx</math>. <math>2\int\sec^3(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)+\int\sec(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)+\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c</math>.
===אינטגרלים עם שורשים===
לאינטגרל מהסוג <math>\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac nm\right),\dots,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac km\right)\mathrm dx</math>. תועיל הצבה: <math>\frac{ax+b}{cx+d}=t^m</math>
====דוגמאות===
<math>\int\frac{\mathrm dx}{x(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2})}=\int\frac{\mathrm dx}{x(x^\frac 5{10}+x^\frac^4{10})}</math> נציב <math>x=t^10</math> אזי נקבל <math>\int\frac{10t^9\mathrm dt}{t^{10}(t^5+t^4)}=\int\frac{10\mathrm dt}{t^5(t+1)}</math> ופותרים בשברים חלקיים. דרך אחרת: <math>(1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)=1+t^5</math> (כי <math>1-t+t^2-t^3+t^4</math> טור הנדסי). לפי זה נקבל <math>\int\frac{\mathrm dt}{t^5(t+1)}=\int\frac{(1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)}{t^5(t+1)}\frac{-t^5}{(1+t)t^5}\mathrm dt=\int(t^{-5}-t^{-4}+t^{-3}-t^[-2}+t^{-1})\mathrm dt=\dots</math>.
#<math>\int\frac[3]\frac{1-x}{1+x}\frac{\mathrm dx}x</math> נציב <math>t^3=\frac{1-x}{1+x}</math> ואז <math>x=\frac{1-t^3}{1+t^3}</math> וכך <math>\mathrm dx=\frac{(1+t^3)(-3t^2)-(1-t^3)(3t^2)}{(1+t^3)^2}\mathrm dt=\int\frac{-6t^2}{(1+t^3)^2}\mathrm dt=</math> לכן <math>\int\frac{t(-6t^2)}{(1+t^3)(1-t^3)}\mathrm dt=\int\frac{-6t^2\cdot t\mathrm dt}{1-t^6}</math> נציב <math>y=t^2</math> והאינטגרל הוא <math>\int\frac{-3y\mathrm dy}{1-y^3}=\int\frac{-3y\mathrm dy}{(1-y)(1+y+y^2)}=\dots</math>.
לאינטגרלים מהסוג <math>\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx</math> עבור <math>a,b\int\mathbb R\ \and\ m,n,p\int\mathbb Q</math>: אם <math>p\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math>x=t^q</math> עבור q המכנה המשותף של n,m. למשל:
<math>\int \sqrt x(1+\sqrt[3]x)^4\mathrm dx</math> נציב <math>x=t^6</math> ונקבל <math>\int t^3(1+t^2)^4 6t^5\mathrm dt</math>, שזה אינטגרל של פולינום (ארוך).
אם <math>\frac{m+1}n\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math>b+ax^n=t^q</math> עבור q המכנה של p. לדוגמה:
<math>\int x^5(1+x^3)^\frac23\mathrm dx</math> ולכן נציב <math>1+x^3=t^3\implies x^5\mathrm dx=3t^2\frac{t^3-1}3\mathrm dt</math> נקבל <math>\int t^2(3t^2\frac{t^3-1}3)\mathrm dt=\int(t^7-t^4)\mathrm dt=\dots</math>.
===דוגמאות נוספות===
#<math>\int x^2\sqrt{4-x^2}\mathrm dx</math> נציב <math>x=2\sin(t)\implis \mathrm dx=2\cos(t)\mthrm dt</math> ונקבל <math>\int4\sin^2(t)\sqrt{4-4\sin^2(t)}2\cos(t)\mathrm dt=\int16\sin^2(t)\cos^2(t)\mathrm dt=4\int(2\sin(t)\cos(t))^2\mathrm dt=4\int\sin^2(2t)\mathrm dt=4\int\frac{1-\cos(4t)}2\mathrm dt=2t-\frac{\sin(4t)}2</math>
#<math>\int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx</math> עבור <math>a>0</math> קבוע נציב <\math>x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta</math> ונקבל <math>\int\sqrt{a^2\tan^2(\theta)+a^2}\mathrm d\theta=\int a\sec(\theta)a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta=\int a^2\sec^3(\theta)\mathrm dt</math>. תשובה סופית: <math>\frac{a^2}2\frac xa\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac{a^2}2\ln\left|\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac xa\right|+c=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+c</math>.
#<math>\int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx</math> נציב <math>x=a\sec(\theta)</math> ונקבל <math>\int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mahrm d\theta=a^2\int (\sec^2(\theta)-\sec(\theta))\mathrm d\theta</math>.
=בחזרה לאינטגרל המסויים=
כזכור, אם f רציפה ב-<math>[a,b]</math> אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b</math>.
==אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים==
כזכור מתחילים עם הזהות <math>(fg)'=f'g+fg'</math> ונקבל <math>\int\limits_a^b f'g+\int\limits_a^b fg'=[fg(x)]_{x=a}^b</math>. נעביר אגף לקבל <math>\int\limits_a^b fg=[fg(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'g</math>. בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
# להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
# להשתמש בנוסחה זו.
===דוגמאות===
#<math>\int\limits_0^\pi x\cos(x)\mathrm dx</math>. נקבל <math>[x\sin(x)-\int\sin(x)\mathrm dx]_{x=0}^\pi=[x\sin(x)-\cos(x)]_{x=0}^\pi=-2</math>
# <math>\int\limits_0^1 x^{17}(1-x)^{13}\mathrm dx=[\frac{(1-x)^{13}x^{18}}{18}]_{x=0}^1+\int\limits_0^1\frac{x^{18}}{18}13(1-x)^{12}\mathrm dx=\frac{13}{18}\int\limits_0^1 x^{18}(1-x)^{12}\mathrm dx=[\frac{13}{18}\frac{x^19}{19}\dots]+\int\dots=\dots=\frac{13\cdot12\cdot11\cdot\dots1}{18\cdot19\cdot20\cdot\dots\cdot30}\int\limits_0^1\dots</math>
גם באינטגרציה ע"י הצבה באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
# להתעלם מהגבולות ולפתור אינטגרל מסויים, ואח"כ להציב גבולות.
# להחליף את הגבולות כאשר מחליפים משתנים. נסביר זאת:
בהצבה מתחילים כלל השרשרת <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(\phi(x))=F'(\phi(x))\phi'(x)</math> אם F קדומה ל-f אז זה שווה ל-<math>f(\phi(x))\phi'(x)</math> לכן <math>\int\limits_a^b f(\phi(x))\phi'(x)\mathrm dx=[F(\phi(x))]_{x=a}^b=\int\limits_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t)\mathrm dt</math>
פורמלית: באינטגרל <math>\int\limits_a^b (f\circle \phi)\cdot\phi'</math> מציבים <math>t=\phi(x)</math>
יש הצבה אוניברסלית: מציבים <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> לכן <math>\mathrm dx=\frac{2\mathrm dt}{t^2+1}</math> וכן <math>\cos(x)=\frac{t^2-1}{t^2+1}</math> ו-<math>\sin(x)=\frac{2t}{t^2+1}</math>. האינטגרל הופך לאינטגרל של פונקציה רציונלית של t (שאפשר לחשב עם שברים חלקיים).
==דוגמאות===
#<math>\int\frac{8\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}\mathrm dx</math>: נציב t כנ"ל ונקבל <math>\int\frac{8\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=\int\frac{16t-1+t^2}{2t+2-2t^2}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=-\int\frac{t^2+16t-1}{(t^2-t-1)(1+t^2)}\mathrm dt</math> ומכאן פותרים בשברים חלקיים. '''גישה יותר חכמה:''' מתקיים <math>R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x))</math> ולכן נגדיר <math>t=\tan(x)\implies \mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{1+t^2}</math>. האינטגרל הוא <math>\int\frac{t\tan(x)-1}{\tan(x)+2}\mathrm dx=\int\frac{8t-1}{t+2}\cdot\frac{\mathrm dt}{1+t^2}</math>. פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט.
#<math>\int\sec(x)\mathrm dx</math> ועם <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> זה שווה ל-<math>\int\frac{1+t^2}{1-t^2}\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\int\left(\frac1{1-t}+\frac1{1+t}\right)\mathrm dt=-\ln|1-t|+\ln|1+t|+c=\ln\left|\frac{1+\tan\left(\frac x2\right)}{1-\tan\left(\frac x2\right)}\right|</math>. גישה אחרת: <math>\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx</math> נציב <math>y=\sin(x)</math> והאינטגרל הוא <math>\int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy=\frac12\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right|+c</math>. דרך המלך: <math>\int\frac{\sec(x)(\sec(x)+\tan(x))}{\sec(x)+\tan(x)}\mathrm dx=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c</math>.
#<math>\int\sec^3(x)\mathrm dx</math> נציב <math>t=\tan(x/2)</math> ונקבל <math>\int\frac{(1+t^2)^3}{(1-t^2)^3}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}</math> וניתן לעשות זאת, אבל זה לא נעים. דרך אחרת: <math>\int\frac{\cos(x)}{\cos^4(x)}\mathrm dx</math> ונציב <math>y=\sin(x)</math>. נקבל <math>\int\frac{\mathrm dy}{(1-y^2)^2}</math> וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים. דרך המלך: <math>\int\sec^3(x)\mathrm dx=\int\sec(x)(1+\tan^2(x))\mathrm dx=\int\sec(x)\mathrm dx+\int\sec(x)\tan(x)\mathrm dx</math> נציב <math>y=\sin(x)</math> ושוב הגענו ל-<math>\int\frac{\mathrm dy}{(1-y^2)^2}</math>. ניסיון אחרון: <math>\int\sec(x)\sec^2(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)-\int\tan(x)\sec(x)\tan(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)-\int\sec(x)(\sec^2(x)-1)\mathrm dx</math>. <math>2\int\sec^3(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)+\int\sec(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)+\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c</math>.
===אינטגרלים עם שורשים===
לאינטגרל מהסוג <math>\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac nm\right),\dots,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac km\right)\mathrm dx</math>. תועיל הצבה: <math>\frac{ax+b}{cx+d}=t^m</math>
====דוגמאות===
<math>\int\frac{\mathrm dx}{x(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2})}=\int\frac{\mathrm dx}{x(x^\frac 5{10}+x^\frac^4{10})}</math> נציב <math>x=t^10</math> אזי נקבל <math>\int\frac{10t^9\mathrm dt}{t^{10}(t^5+t^4)}=\int\frac{10\mathrm dt}{t^5(t+1)}</math> ופותרים בשברים חלקיים. דרך אחרת: <math>(1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)=1+t^5</math> (כי <math>1-t+t^2-t^3+t^4</math> טור הנדסי). לפי זה נקבל <math>\int\frac{\mathrm dt}{t^5(t+1)}=\int\frac{(1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)}{t^5(t+1)}\frac{-t^5}{(1+t)t^5}\mathrm dt=\int(t^{-5}-t^{-4}+t^{-3}-t^[-2}+t^{-1})\mathrm dt=\dots</math>.
#<math>\int\frac[3]\frac{1-x}{1+x}\frac{\mathrm dx}x</math> נציב <math>t^3=\frac{1-x}{1+x}</math> ואז <math>x=\frac{1-t^3}{1+t^3}</math> וכך <math>\mathrm dx=\frac{(1+t^3)(-3t^2)-(1-t^3)(3t^2)}{(1+t^3)^2}\mathrm dt=\int\frac{-6t^2}{(1+t^3)^2}\mathrm dt=</math> לכן <math>\int\frac{t(-6t^2)}{(1+t^3)(1-t^3)}\mathrm dt=\int\frac{-6t^2\cdot t\mathrm dt}{1-t^6}</math> נציב <math>y=t^2</math> והאינטגרל הוא <math>\int\frac{-3y\mathrm dy}{1-y^3}=\int\frac{-3y\mathrm dy}{(1-y)(1+y+y^2)}=\dots</math>.
לאינטגרלים מהסוג <math>\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx</math> עבור <math>a,b\int\mathbb R\ \and\ m,n,p\int\mathbb Q</math>: אם <math>p\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math>x=t^q</math> עבור q המכנה המשותף של n,m. למשל:
<math>\int \sqrt x(1+\sqrt[3]x)^4\mathrm dx</math> נציב <math>x=t^6</math> ונקבל <math>\int t^3(1+t^2)^4 6t^5\mathrm dt</math>, שזה אינטגרל של פולינום (ארוך).
אם <math>\frac{m+1}n\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math>b+ax^n=t^q</math> עבור q המכנה של p. לדוגמה:
<math>\int x^5(1+x^3)^\frac23\mathrm dx</math> ולכן נציב <math>1+x^3=t^3\implies x^5\mathrm dx=3t^2\frac{t^3-1}3\mathrm dt</math> נקבל <math>\int t^2(3t^2\frac{t^3-1}3)\mathrm dt=\int(t^7-t^4)\mathrm dt=\dots</math>.
===דוגמאות נוספות===
#<math>\int x^2\sqrt{4-x^2}\mathrm dx</math> נציב <math>x=2\sin(t)\implis \mathrm dx=2\cos(t)\mthrm dt</math> ונקבל <math>\int4\sin^2(t)\sqrt{4-4\sin^2(t)}2\cos(t)\mathrm dt=\int16\sin^2(t)\cos^2(t)\mathrm dt=4\int(2\sin(t)\cos(t))^2\mathrm dt=4\int\sin^2(2t)\mathrm dt=4\int\frac{1-\cos(4t)}2\mathrm dt=2t-\frac{\sin(4t)}2</math>
#<math>\int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx</math> עבור <math>a>0</math> קבוע נציב <\math>x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta</math> ונקבל <math>\int\sqrt{a^2\tan^2(\theta)+a^2}\mathrm d\theta=\int a\sec(\theta)a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta=\int a^2\sec^3(\theta)\mathrm dt</math>. תשובה סופית: <math>\frac{a^2}2\frac xa\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac{a^2}2\ln\left|\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac xa\right|+c=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+c</math>.
#<math>\int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx</math> נציב <math>x=a\sec(\theta)</math> ונקבל <math>\int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mahrm d\theta=a^2\int (\sec^2(\theta)-\sec(\theta))\mathrm d\theta</math>.
=בחזרה לאינטגרל המסויים=
כזכור, אם f רציפה ב-<math>[a,b]</math> אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b</math>.
==אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים==
כזכור מתחילים עם הזהות <math>(fg)'=f'g+fg'</math> ונקבל <math>\int\limits_a^b f'g+\int\limits_a^b fg'=[fg(x)]_{x=a}^b</math>. נעביר אגף לקבל <math>\int\limits_a^b fg=[fg(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'g</math>. בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
# להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
# להשתמש בנוסחה זו.
===דוגמאות===
#<math>\int\limits_0^\pi x\cos(x)\mathrm dx</math>. נקבל <math>[x\sin(x)-\int\sin(x)\mathrm dx]_{x=0}^\pi=[x\sin(x)-\cos(x)]_{x=0}^\pi=-2</math>
# <math>\int\limits_0^1 x^{17}(1-x)^{13}\mathrm dx=[\frac{(1-x)^{13}x^{18}}{18}]_{x=0}^1+\int\limits_0^1\frac{x^{18}}{18}13(1-x)^{12}\mathrm dx=\frac{13}{18}\int\limits_0^1 x^{18}(1-x)^{12}\mathrm dx=[\frac{13}{18}\frac{x^19}{19}\dots]+\int\dots=\dots=\frac{13\cdot12\cdot11\cdot\dots1}{18\cdot19\cdot20\cdot\dots\cdot30}\int\limits_0^1\dots</math>
גם באינטגרציה ע"י הצבה באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
# להתעלם מהגבולות ולפתור אינטגרל מסויים, ואח"כ להציב גבולות.
# להחליף את הגבולות כאשר מחליפים משתנים. נסביר זאת:
בהצבה מתחילים כלל השרשרת <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(\phi(x))=F'(\phi(x))\phi'(x)</math> אם F קדומה ל-f אז זה שווה ל-<math>f(\phi(x))\phi'(x)</math> לכן <math>\int\limits_a^b f(\phi(x))\phi'(x)\mathrm dx=[F(\phi(x))]_{x=a}^b=\int\limits_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t)\mathrm dt</math>
פורמלית: באינטגרל <math>\int\limits_a^b (f\circle \phi)\cdot\phi'</math> מציבים <math>t=\phi(x)</math>
