שינויים
יצירת דף עם התוכן "=שיטות אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}= ==דוגמאות נוספות== # <math>\int\frac{x^2-7x+10}{(x-3)^2(x-4)}\mathrm dx</math>: נמצא A,B,C ..."
=שיטות אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}=
==דוגמאות נוספות==
# <math>\int\frac{x^2-7x+10}{(x-3)^2(x-4)}\mathrm dx</math>: נמצא A,B,C עבורם האינטגרנד שווה ל-<math>\frac A{x-4}+\frac B{x-3}+\frac C{(x-3)^2}</math>. נשווה מונים: <math>x^2-7x+10=A(x-3)^2+B(x-4)(x-3)+C(x-4)</math> ולכן <math>A=-2,\ B=3,\ C=2</math>. לבסוף נקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(\frac{-2}{x-4}+\frac3{x-3}+\frac2{(x-3)^2}\right)\mathrm dx\\&=-2\ln|x-4|+3\ln|x-3|+\frac2{x-3}+c\end{align}</math>}}{{משל}}
# <math>\int\frac{2x^4+40x+26}{(x-1)(x^2-2x+5)}\mathrm dx</math>: נשים לב שמעלת המונה גדולה ממעלת המכנה, לכן לא ניתן להשתמש בשברים חלקיים בשלב זה. נחלק פולנומים: {{left|<math>\begin{align}&2x+6\\&\overline{2x^4+40x+26\ |}\ x^3-3x^2+7x-5\\-\\&\underline{2x^4-6x^3+14x^2-10x}\\&\ \ 0\ \ \ \ \ 6x^3-14x^2+50x+26\\-\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{6x^3-18x^2+42x-30}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ 4x^2+\ \,8x+56\end{align}</math>}} ז"א {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(2x+6+\frac{4x^2+8x+56}{(x-1)(x^2-2x+5)}\right)\mathrm dx\\&=x^2+6x+\int\left(\frac{17}{x-1}+\frac{-13x+29}{(x-1)^2+4}\right)\mathrm dx\\&=x^2+6x+17\ln|x-1|-\frac{13}2\ln|(x-1)^2+4|+8\arctan\left(\frac{x-1}2\right)+c\end{align}</math>}}{{משל}}
# <math>\int\frac{2x^3-x+1}{\left(x^4-1\right)^3\left(x^2-3x+2\right)^2x^4}\mathrm dx</math>: נפרק את המכנה ונקבל <math>(x-1)^5(x+1)^3\left(x^2+1\right)^3(x-2)^2x^4</math>. לכן האינטגרנד הוא {{left|<math>\begin{align}&\frac A{x-1}+\frac B{(x-1)^2}+\frac C{(x-1)^3}+\frac D{(x-1)^4}+\frac E{(x-1)^5}\\+&\frac F{x+1}+\frac G{(x+1)^2}+\frac H{(x+1)^3}\\+&\frac{Ix+J}{x^2+1}+\frac{Kx+L}{\left(x^2+1\right)^2}+\frac{Mx+N}{\left(x^2+1\right)^3}\\+&\frac O{x-2}+\frac P{(x-2)^2}\\+&\frac Qx+\frac R{x^2}+\frac S{x^3}+\frac T{x^4}\end{align}</math>}} עבור A,B,...,T כלשהם. עתה נותר "רק" למצוא אותם ולחשב את האינטגרל. {{משל}}
==אינטגרל של פונקציה רציונלית של sin ו-cos==
נתונה פונקציה רציונלית R של שני משתנים, ואנו מעוניינים לחשב את <math>\int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx</math>. למשל, אם <math>R(x,y)=\frac{3x^3-2xy^5+7}{xy^3-x^2y^3}</math> אז אנו רוצים למצוא אינטגרל ל-<math>R(\cos(x),\sin(x))=\frac{3\cos^3(x)-2\cos(x)\sin^5(x)+7}{\cos(x)\sin^3(x)-\cos^2(x)\sin^3(x)}</math>.
===דוגמאות פרטית===
# {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(\sin^2(x)\cos^3(x)-\sin(x)\cos^5(x)\right)\mathrm dx\\&=\int\left(\sin^2(x)\cos^2(x)-\sin(x)\cos^4(x)\right)\cos(x)\mathrm dx\\&=\int\left(\sin^2(x)\left(1-\sin^2(x)\right)-\sin(x)\left(1-\sin^2(x)\right)^2\right)\cos(x)\mathrm dx\end{align}</math>}} נציב <math>y=\sin(x)\implies\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math> ואז {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(y^2\left(1-y^2\right)-y\left(1-y^2\right)^2\right)\mathrm dy\\&=\int\left(y^2-y^4-\frac{2y}2\left(1-y^2\right)^2\right)\mathrm dy\\&=\frac{y^3}3-\frac{y^5}5+\frac12\frac{\left(1-y^2\right)^3}3+c\\&=\frac{\sin^3(x)}3-\frac{\sin^5(x)}5+\frac{\cos^6(x)}6+c\end{align}</math>}}{{משל}}
# {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(x)\sin^3(x)}{2\cos(x)+\sin^2(x)+3}\mathrm dx\\&=\int\frac{3\cos(x)\sin^2(x)}{2\cos(x)+\sin^2(x)+3}\sin(x)\mathrm dx\\&=\int\frac{3\cos(x)\left(1-\cos^2(x)\right)}{2\cos(x)+\left(1-\cos^2(x)\right)+3}\sin(x)\mathrm dx\end{align}</math>}} נציב <math>y=\cos(x)\implies\mathrm dy=-\sin(x)\mathrm dx</math>. לכן: {{left|<math>\begin{align}\int&=\frac{3y\left(1-y^2\right)}{2y+4-y^2}(-\mathrm dy)\\&=-\int\frac{3y^3-3y}{y^2-2y-4}\\&=\int\left(3y+6+\frac{21y+24}{y^2-2y-4}\right)\mathrm dy\\&=\frac32y^2+6y+\int\frac{A\mathrm dy}{y-\frac{2+\sqrt{4+16}}2}+\int\frac{B\mathrm dy}{y-\frac{2-\sqrt{4+16}}2}+c\\&=\frac32y^2+6y+\frac{21+9\sqrt5}2\ln\left|y-1-\sqrt5\right|+\frac{21-9\sqrt5}2\ln\left|y-1+\sqrt5\right|+c\\&=\dots\end{align}</math>}}{{משל}}
----
'''כללים:''' באינטגרל <math>\int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx</math>:
* אם <math>R(-\cos(x),\sin(x))=-R(\cos(x),\sin(x))</math> אז תועיל ההצבה <math>y=\sin(x)</math>.
* אם <math>R(\cos(x),-\sin(x))=-R(\cos(x),\sin(x))</math> נציב <math>y=\cos(x)</math>.
* אם <math>R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x))</math> נציב <math>y=\tan(x)</math>.
* בכל מקרה תועיל ההצבה <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math>, שתהפוך את האינטגרנד לפונקציה רציונלית של <math>t</math>, והאינטגרל שלה פתיר בעזרת שברים חלקיים. במקרה כזה:
:* <math>x=2\arctan(t)</math> ולכן <math>\mathrm dx=\frac2{1+t^2}\mathrm dt</math>.
:* <math>1+t^2=1+\tan^2\left(\frac x2\right)=\sec^2\left(\frac x2\right)</math>, לפיכך <math>\frac{1+\cos(x)}2=\cos^2\left(\frac x2\right)=\frac1{1+t^2}</math> ונקבל <math>\cos(x)=\frac2{1+t^2}-1=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>.
:* <math>\sin(x)=2\sin\left(\frac x2\right)\cos\left(\frac x2\right)=2t\cdot\cos^2\left(\frac x2\right)=\frac{2t}{1+t^2}</math>.
===דוגמה===
חשב <math>\frac{\mathrm dx}{5-3\cos(x)}</math>.
====פתרון====
נציב <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{5-3\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\frac{2\mathrm dt}{5+5t^2-3\left(1-t^2\right)}\\&=\int\frac{\mathrm dt}{1+4t^2}\\&=\frac12\arctan(2t)+c\\&=\frac12\arctan\left(2\tan\left(\frac x2\right)\right)+c\end{align}</math>}}
{{משל}}
==דוגמאות נוספות==
# <math>\int\frac{x^2-7x+10}{(x-3)^2(x-4)}\mathrm dx</math>: נמצא A,B,C עבורם האינטגרנד שווה ל-<math>\frac A{x-4}+\frac B{x-3}+\frac C{(x-3)^2}</math>. נשווה מונים: <math>x^2-7x+10=A(x-3)^2+B(x-4)(x-3)+C(x-4)</math> ולכן <math>A=-2,\ B=3,\ C=2</math>. לבסוף נקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(\frac{-2}{x-4}+\frac3{x-3}+\frac2{(x-3)^2}\right)\mathrm dx\\&=-2\ln|x-4|+3\ln|x-3|+\frac2{x-3}+c\end{align}</math>}}{{משל}}
# <math>\int\frac{2x^4+40x+26}{(x-1)(x^2-2x+5)}\mathrm dx</math>: נשים לב שמעלת המונה גדולה ממעלת המכנה, לכן לא ניתן להשתמש בשברים חלקיים בשלב זה. נחלק פולנומים: {{left|<math>\begin{align}&2x+6\\&\overline{2x^4+40x+26\ |}\ x^3-3x^2+7x-5\\-\\&\underline{2x^4-6x^3+14x^2-10x}\\&\ \ 0\ \ \ \ \ 6x^3-14x^2+50x+26\\-\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{6x^3-18x^2+42x-30}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ 4x^2+\ \,8x+56\end{align}</math>}} ז"א {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(2x+6+\frac{4x^2+8x+56}{(x-1)(x^2-2x+5)}\right)\mathrm dx\\&=x^2+6x+\int\left(\frac{17}{x-1}+\frac{-13x+29}{(x-1)^2+4}\right)\mathrm dx\\&=x^2+6x+17\ln|x-1|-\frac{13}2\ln|(x-1)^2+4|+8\arctan\left(\frac{x-1}2\right)+c\end{align}</math>}}{{משל}}
# <math>\int\frac{2x^3-x+1}{\left(x^4-1\right)^3\left(x^2-3x+2\right)^2x^4}\mathrm dx</math>: נפרק את המכנה ונקבל <math>(x-1)^5(x+1)^3\left(x^2+1\right)^3(x-2)^2x^4</math>. לכן האינטגרנד הוא {{left|<math>\begin{align}&\frac A{x-1}+\frac B{(x-1)^2}+\frac C{(x-1)^3}+\frac D{(x-1)^4}+\frac E{(x-1)^5}\\+&\frac F{x+1}+\frac G{(x+1)^2}+\frac H{(x+1)^3}\\+&\frac{Ix+J}{x^2+1}+\frac{Kx+L}{\left(x^2+1\right)^2}+\frac{Mx+N}{\left(x^2+1\right)^3}\\+&\frac O{x-2}+\frac P{(x-2)^2}\\+&\frac Qx+\frac R{x^2}+\frac S{x^3}+\frac T{x^4}\end{align}</math>}} עבור A,B,...,T כלשהם. עתה נותר "רק" למצוא אותם ולחשב את האינטגרל. {{משל}}
==אינטגרל של פונקציה רציונלית של sin ו-cos==
נתונה פונקציה רציונלית R של שני משתנים, ואנו מעוניינים לחשב את <math>\int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx</math>. למשל, אם <math>R(x,y)=\frac{3x^3-2xy^5+7}{xy^3-x^2y^3}</math> אז אנו רוצים למצוא אינטגרל ל-<math>R(\cos(x),\sin(x))=\frac{3\cos^3(x)-2\cos(x)\sin^5(x)+7}{\cos(x)\sin^3(x)-\cos^2(x)\sin^3(x)}</math>.
===דוגמאות פרטית===
# {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(\sin^2(x)\cos^3(x)-\sin(x)\cos^5(x)\right)\mathrm dx\\&=\int\left(\sin^2(x)\cos^2(x)-\sin(x)\cos^4(x)\right)\cos(x)\mathrm dx\\&=\int\left(\sin^2(x)\left(1-\sin^2(x)\right)-\sin(x)\left(1-\sin^2(x)\right)^2\right)\cos(x)\mathrm dx\end{align}</math>}} נציב <math>y=\sin(x)\implies\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math> ואז {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(y^2\left(1-y^2\right)-y\left(1-y^2\right)^2\right)\mathrm dy\\&=\int\left(y^2-y^4-\frac{2y}2\left(1-y^2\right)^2\right)\mathrm dy\\&=\frac{y^3}3-\frac{y^5}5+\frac12\frac{\left(1-y^2\right)^3}3+c\\&=\frac{\sin^3(x)}3-\frac{\sin^5(x)}5+\frac{\cos^6(x)}6+c\end{align}</math>}}{{משל}}
# {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(x)\sin^3(x)}{2\cos(x)+\sin^2(x)+3}\mathrm dx\\&=\int\frac{3\cos(x)\sin^2(x)}{2\cos(x)+\sin^2(x)+3}\sin(x)\mathrm dx\\&=\int\frac{3\cos(x)\left(1-\cos^2(x)\right)}{2\cos(x)+\left(1-\cos^2(x)\right)+3}\sin(x)\mathrm dx\end{align}</math>}} נציב <math>y=\cos(x)\implies\mathrm dy=-\sin(x)\mathrm dx</math>. לכן: {{left|<math>\begin{align}\int&=\frac{3y\left(1-y^2\right)}{2y+4-y^2}(-\mathrm dy)\\&=-\int\frac{3y^3-3y}{y^2-2y-4}\\&=\int\left(3y+6+\frac{21y+24}{y^2-2y-4}\right)\mathrm dy\\&=\frac32y^2+6y+\int\frac{A\mathrm dy}{y-\frac{2+\sqrt{4+16}}2}+\int\frac{B\mathrm dy}{y-\frac{2-\sqrt{4+16}}2}+c\\&=\frac32y^2+6y+\frac{21+9\sqrt5}2\ln\left|y-1-\sqrt5\right|+\frac{21-9\sqrt5}2\ln\left|y-1+\sqrt5\right|+c\\&=\dots\end{align}</math>}}{{משל}}
----
'''כללים:''' באינטגרל <math>\int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx</math>:
* אם <math>R(-\cos(x),\sin(x))=-R(\cos(x),\sin(x))</math> אז תועיל ההצבה <math>y=\sin(x)</math>.
* אם <math>R(\cos(x),-\sin(x))=-R(\cos(x),\sin(x))</math> נציב <math>y=\cos(x)</math>.
* אם <math>R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x))</math> נציב <math>y=\tan(x)</math>.
* בכל מקרה תועיל ההצבה <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math>, שתהפוך את האינטגרנד לפונקציה רציונלית של <math>t</math>, והאינטגרל שלה פתיר בעזרת שברים חלקיים. במקרה כזה:
:* <math>x=2\arctan(t)</math> ולכן <math>\mathrm dx=\frac2{1+t^2}\mathrm dt</math>.
:* <math>1+t^2=1+\tan^2\left(\frac x2\right)=\sec^2\left(\frac x2\right)</math>, לפיכך <math>\frac{1+\cos(x)}2=\cos^2\left(\frac x2\right)=\frac1{1+t^2}</math> ונקבל <math>\cos(x)=\frac2{1+t^2}-1=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>.
:* <math>\sin(x)=2\sin\left(\frac x2\right)\cos\left(\frac x2\right)=2t\cdot\cos^2\left(\frac x2\right)=\frac{2t}{1+t^2}</math>.
===דוגמה===
חשב <math>\frac{\mathrm dx}{5-3\cos(x)}</math>.
====פתרון====
נציב <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{5-3\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\frac{2\mathrm dt}{5+5t^2-3\left(1-t^2\right)}\\&=\int\frac{\mathrm dt}{1+4t^2}\\&=\frac12\arctan(2t)+c\\&=\frac12\arctan\left(2\tan\left(\frac x2\right)\right)+c\end{align}</math>}}
{{משל}}
