שינויים
יצירת דף עם התוכן "===דוגמאות=== # <math>\int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx</math>. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב <math>t=x^3\..."
===דוגמאות===
# <math>\int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx</math>. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב <math>t=x^3\implies\frac{\mathrm dt}3=\mathrm dx</math>. לכן <math>\int=\int e^t\frac{\mathrm dt}3=\frac{e^t}3=\left[\frac{e^{x^3}}3\right]_{x=0}^2=\frac{e^8-1}3</math>. דרך ב - נחליף את הגבולות בדרך: <math>t=x^3\implies t(0)=0,\ t(2)=8</math> ולכן <math>\int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3</math>
# נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. <math>x^2+y^2=r^2\implies y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. לכן השטח הוא <math>2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\mathrm dx</math>. נציב <math>x=r\sin(\theta)</math>... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה <math>x=r\sin(\theta)</math> היינו צריכים לבחור <math>\theta</math> כך ש-<math>x=r</math>, אבל יכולנו לבחור <math>\theta=\frac{r\pi}2</math> כי אז <math>x=r\sin(\theta)=r\sin\left(\frac{r\pi}2\right)=r</math>, ועבור <math>x=-r</math> יכולנו לבחור <math>-\frac{r\pi}2</math>. אם כן היינו מוצאים <math>S=\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta=2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta=2r^2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2\frac{1+\cos(2\theta)}2\mathrm d\theta=r\pi r^2</math>. הטעות נובעת מכך שקבענו ש-<math>\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=r\cos(\theta)</math>, מה שנכון רק כאשר <math>\cos(\theta)\ge0</math>. הטווח של האינטגרציה היה <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math>, שכולל תחומים בהם <math>\cos(\theta)<0</math>. בתחומים אלה צריך לבחור <math>\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=-r\cos(\theta)</math> ולחלק את הקטע <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math> לתחומים שונים לפי הסימן של <math>\cos(\theta)</math>.
==יישומים של אינטגרציה==
# אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.
# נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math>. ז"א לכל חלוקה P <math>\underline S(\pi f^2,P)\le V\le\overline S(\pi f^2,P)</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול <math>\int\limits_a^b \pi f^2=V</math>.
==דוגמאות==
# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: <math>V=\pi\int\limits_{-r}^r f^2=\pi\int\limits_{-r}^r (r^2-x^2)\mathrm dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r=2\pi(r^3-\frac{r^3}3)=\frac43\pi r^3</math>.
# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא <math>\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3</math>, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
# נגדיר ממוצע של פונקציה רציפה: תהא f מוגדרת ורציפה
# <math>\int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx</math>. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב <math>t=x^3\implies\frac{\mathrm dt}3=\mathrm dx</math>. לכן <math>\int=\int e^t\frac{\mathrm dt}3=\frac{e^t}3=\left[\frac{e^{x^3}}3\right]_{x=0}^2=\frac{e^8-1}3</math>. דרך ב - נחליף את הגבולות בדרך: <math>t=x^3\implies t(0)=0,\ t(2)=8</math> ולכן <math>\int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3</math>
# נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. <math>x^2+y^2=r^2\implies y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. לכן השטח הוא <math>2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\mathrm dx</math>. נציב <math>x=r\sin(\theta)</math>... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה <math>x=r\sin(\theta)</math> היינו צריכים לבחור <math>\theta</math> כך ש-<math>x=r</math>, אבל יכולנו לבחור <math>\theta=\frac{r\pi}2</math> כי אז <math>x=r\sin(\theta)=r\sin\left(\frac{r\pi}2\right)=r</math>, ועבור <math>x=-r</math> יכולנו לבחור <math>-\frac{r\pi}2</math>. אם כן היינו מוצאים <math>S=\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta=2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta=2r^2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2\frac{1+\cos(2\theta)}2\mathrm d\theta=r\pi r^2</math>. הטעות נובעת מכך שקבענו ש-<math>\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=r\cos(\theta)</math>, מה שנכון רק כאשר <math>\cos(\theta)\ge0</math>. הטווח של האינטגרציה היה <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math>, שכולל תחומים בהם <math>\cos(\theta)<0</math>. בתחומים אלה צריך לבחור <math>\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=-r\cos(\theta)</math> ולחלק את הקטע <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math> לתחומים שונים לפי הסימן של <math>\cos(\theta)</math>.
==יישומים של אינטגרציה==
# אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.
# נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math>. ז"א לכל חלוקה P <math>\underline S(\pi f^2,P)\le V\le\overline S(\pi f^2,P)</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול <math>\int\limits_a^b \pi f^2=V</math>.
==דוגמאות==
# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: <math>V=\pi\int\limits_{-r}^r f^2=\pi\int\limits_{-r}^r (r^2-x^2)\mathrm dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r=2\pi(r^3-\frac{r^3}3)=\frac43\pi r^3</math>.
# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא <math>\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3</math>, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
# נגדיר ממוצע של פונקציה רציפה: תהא f מוגדרת ורציפה
