==אינטגרלים עם שורשים==
לאינטגרל מהסוג <math>\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac nm,\dots,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac km\right)\mathrm dx</math>. תועיל הצבה: <math>\frac{ax+b}{cx+d}=t^m</math>.
===דוגמאות===
לאינטגרלים מהסוג <math>\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx</math> עבור <math>a,b\in\mathbb R\ \and\ m,n,p\in\mathbb Q</math>:
* אם <math>p\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math>x=t^{1/\gcd(n,m)}</math> (כאשר <math>\gcd(n,m)</math> הוא המספר הגדול ביותר עבורו <math>\frac n{\gcd(n,m)},\frac m{\gcd(n,m)}\in\mathbb Z</math>). למשל, עבור <math>\int \sqrt x(1+\sqrt[3]x)^4\mathrm dx</math> נציב <math>x=t^6</math> ונקבל <math>\int t^3\left(1+t^2\right)^4\cdot6t^5\mathrm dt</math>, שהוא אינטגרל של פולינום.
* אם <math>\frac{m+1}n\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math>b+ax^n=t^q</math> עבור q המכנה של p. לדוגמה, ל-<math>\int x^5\left(1+x^3\right)^\frac23\mathrm dx</math> נציב <math>1+x^3=t^3\implies x^5\mathrm dx=3t^2\frac{t^3-1}3\mathrm dt</math> ונקבל <math>\int t^2\left(3t^2\frac{t^3-1}3\right)\mathrm dt=\int\left(t^7-t^4\right)\mathrm dt=\dots</math>.
# <math>\int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx</math> עבור <math>a</math> קבוע: נציב <math>x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta</math> ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\tan^2(\theta)+a^2}a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a\sec(\theta)a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec^3(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\left(\frac12\sec(\theta)\tan(\theta)+\frac12\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|\right)+c\\&=\frac{a^2}2\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}\cdot\frac xa+\frac{a^2}2\ln\left|\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac xa\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|-\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align}</math>}}
# <math>\int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx</math> עבור <math>a</math> קבוע: נציב <math>x=a\sec(\theta)</math> ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}\cdot a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\int \left(\sec^3(\theta)-\sec(\theta)\right)\mathrm d\theta\\&=\frac{a^2}2(\sec(\theta)\tan(\theta)+\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|)-a^2\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|+c\\&=\frac{a^2}2\frac xa\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a-\frac{a^2}2\ln\left|\frac xa+\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align}</math>}}
==בחזרה לאינטגרל המסויים==