שינויים
המשך יבוא
=אינטגרלים=
* תהי <math>f</math> מוגדרת בקטע <math>I</math>. הפונקציה <math>F</math> '''קדומה''' ל-<math>f</math> ב-<math>I</math> אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.
:תהי <math>f</math> מוגדרת וחסומה בקטע <math>I</math>. אזי:
:* נסמן את '''האינפימום''' של <math>f</math> כ-<math>m:=\inf_{x\in I}f(x)</math> ואת '''הסופרימום''' כ-<math>M:=\sup_{x\in I}f(x)</math>.
:* '''התנודה''' של <math>f</math> היא <math>\Omega:=M-m</math>.
:* '''חלוקה''' של קטע <math>[a,b]</math> היא קבוצה מהצורה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> כאשר <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.
::עבור חלוקה <math>P</math> כזו נגדיר:
::* לכל <math>k</math> '''אורך תת הקטע <math>k</math>''' הוא <math>\Delta x_k:=x_k-x_{k-1}</math>.
::* '''פרמטר החלוקה''' הוא <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>.
::* לכל <math>1\le k\le n</math> נגדיר <math>M_k:=\sup_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x)</math> וכן <math>m_k:=\inf_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x)</math>.
::* '''העדנה''' <math>Q</math> של <math>P</math> היא חלוקה של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>P\subset Q</math>.
::* '''הסכום העליון''' הוא <math>\overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>.
::* '''הסכום התחתון''' הוא <math>\underline S(f,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>.
::* '''האינטגרל העליון''' הוא <math>\overline{\int}_a^b f:=\inf_P\overline S(f,P)</math>.
::* '''האינטגרל התחתון''' הוא <math>\underline{\int}_a^b f:=\sup_P\underline S(f,P)</math>.
::* <math>f</math> תקרא '''אינטגרבילית''' (לפי דרבו) בקטע אם <math>\underline{\int}_a^b f=\overline{\int}_a^b f</math>.
::* עבור f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> '''האינטגרל המסויים של <math>f</math> בקטע''' (לפי דרבו) הוא <math>\int\limits_a^bf:=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f</math>.
::* לכל <math>1\le k\le n</math> נבחר <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> כך ש-<math>a\le c_1<c_2<\dots<c_n\le b</math>, ונסמן <math>P':=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math>. '''סכום רימן''' מוגדר כ-<math>S(f,P,P'):=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>.
::* <math>f</math> תקרא '''אינטגרבילית''' (לפי רימן) בקטע אם כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> כל סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math> שואפים לאותו גבול.
::* עבור f אינטגרבילית (לפי רימן) ב-<math>[a,b]</math> '''האינטגרל המסויים של <math>f</math> בקטע''' (לפי רימן) הוא <math>\int\limits_a^b f:=\lim_{\lambda(P)\to0}S(f,P,P')</math> לכל החלוקות <math>P</math> ו-<math>P'</math>.
::* אם <math>f(x)\ge0</math> ורציפה ב-<math>[a,b]</math> אז נגדיר את '''השטח שמתחת לגרף''' כ-<math>\int\limits_a^b f</math>. בפרט, לכל < math>f</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> '''השטח שבין הגרף לציר ה-<math>x</math>''' הוא <math>\int\limits_a^b |f|</math>.
:* <math>\int\limits_a^a f:=0</math>.
:* אם f אינטגרבילית בקטע אז <math>\int\limits_b^a f:=-\int\limits_a^b f</math>.
* פונקציה <math>f</math> תקרא '''רציפה למקוטעין''' בקטע אם היא רציפה בו למעט מספר סופי של נקודות אי רציפות ממין ראשון.
*
* תהי <math>f</math> מוגדרת בקטע <math>I</math>. הפונקציה <math>F</math> '''קדומה''' ל-<math>f</math> ב-<math>I</math> אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.
:תהי <math>f</math> מוגדרת וחסומה בקטע <math>I</math>. אזי:
:* נסמן את '''האינפימום''' של <math>f</math> כ-<math>m:=\inf_{x\in I}f(x)</math> ואת '''הסופרימום''' כ-<math>M:=\sup_{x\in I}f(x)</math>.
:* '''התנודה''' של <math>f</math> היא <math>\Omega:=M-m</math>.
:* '''חלוקה''' של קטע <math>[a,b]</math> היא קבוצה מהצורה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> כאשר <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.
::עבור חלוקה <math>P</math> כזו נגדיר:
::* לכל <math>k</math> '''אורך תת הקטע <math>k</math>''' הוא <math>\Delta x_k:=x_k-x_{k-1}</math>.
::* '''פרמטר החלוקה''' הוא <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>.
::* לכל <math>1\le k\le n</math> נגדיר <math>M_k:=\sup_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x)</math> וכן <math>m_k:=\inf_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x)</math>.
::* '''העדנה''' <math>Q</math> של <math>P</math> היא חלוקה של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>P\subset Q</math>.
::* '''הסכום העליון''' הוא <math>\overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>.
::* '''הסכום התחתון''' הוא <math>\underline S(f,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>.
::* '''האינטגרל העליון''' הוא <math>\overline{\int}_a^b f:=\inf_P\overline S(f,P)</math>.
::* '''האינטגרל התחתון''' הוא <math>\underline{\int}_a^b f:=\sup_P\underline S(f,P)</math>.
::* <math>f</math> תקרא '''אינטגרבילית''' (לפי דרבו) בקטע אם <math>\underline{\int}_a^b f=\overline{\int}_a^b f</math>.
::* עבור f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> '''האינטגרל המסויים של <math>f</math> בקטע''' (לפי דרבו) הוא <math>\int\limits_a^bf:=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f</math>.
::* לכל <math>1\le k\le n</math> נבחר <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> כך ש-<math>a\le c_1<c_2<\dots<c_n\le b</math>, ונסמן <math>P':=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math>. '''סכום רימן''' מוגדר כ-<math>S(f,P,P'):=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>.
::* <math>f</math> תקרא '''אינטגרבילית''' (לפי רימן) בקטע אם כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> כל סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math> שואפים לאותו גבול.
::* עבור f אינטגרבילית (לפי רימן) ב-<math>[a,b]</math> '''האינטגרל המסויים של <math>f</math> בקטע''' (לפי רימן) הוא <math>\int\limits_a^b f:=\lim_{\lambda(P)\to0}S(f,P,P')</math> לכל החלוקות <math>P</math> ו-<math>P'</math>.
::* אם <math>f(x)\ge0</math> ורציפה ב-<math>[a,b]</math> אז נגדיר את '''השטח שמתחת לגרף''' כ-<math>\int\limits_a^b f</math>. בפרט, לכל < math>f</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> '''השטח שבין הגרף לציר ה-<math>x</math>''' הוא <math>\int\limits_a^b |f|</math>.
:* <math>\int\limits_a^a f:=0</math>.
:* אם f אינטגרבילית בקטע אז <math>\int\limits_b^a f:=-\int\limits_a^b f</math>.
* פונקציה <math>f</math> תקרא '''רציפה למקוטעין''' בקטע אם היא רציפה בו למעט מספר סופי של נקודות אי רציפות ממין ראשון.
*
