שינויים
יצירת דף עם התוכן "=אינטגרל= ==דוגמה 1== ראינו בשיעור שעבר כי <math>\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac1x\right)}x\mathrm dx</math> מתכנס לפי ד..."
=אינטגרל=
==דוגמה 1==
ראינו בשיעור שעבר כי <math>\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac1x\right)}x\mathrm dx</math> מתכנס לפי דיריכלה. נראה שלא מתכנס בהחלט.
===פתרון===
ברור כי <math>-1\le\cos\left(\frac1x\right)\le1</math> ולכן <math>\cos^2\left(\frac1x\right)\le\left|\cos\left(\frac1x\right)\right|</math>. מספיק להסתכל על <math>\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac1x\right)}x\mathrm dx=\underline{\frac12\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac2x\right)}x\mathrm dx}_I+\underline{\frac12\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}x}_{II}</math>. ברור שאינטגרל II מתבדר, ולכן אם אינטגרל I מתכנס אז סיימנו את ההוכחה: נציב <math>y=\frahttp://www.math-wiki.com/skins/common/images/button_math.pngc2x</math> ואז <math>\mathrm dx=\frac{-2}{y^2}\mathrm dy</math> נקבל <math>\int\limits_{-\infty}^2 \frac{\cos(y)}{2/y}\frac{-2\mathrm dy}{y^2}=\int\limits_2^\infty \frac{\cos(y)}y\mathrm dy</math> שמתכנס לפי דיריכלה. {{משל}}
==דוגמה 2==
קבעו האם <math>\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x+x^2}</math> מתכנס או מתבדר.
===פתרון===
נחלק לשני אינטגרלים <math>\int\limits_0^\infty=\int\limits_0^1+\int\limits_1^\infty</math> עבור <math>x\in(0,1]</math> <math>x+x^2\ge x</math>, לכן <math>\frac1\sqrt{x+x^2}\le\frac1\sqrt x</math>. ברור ש-<math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה <math>\int\limits_0^1</math> מתכנס.
עבור <math>x\in[1,\infty)</math> <math>\frac1\sqrt{x^3}\ge\frac1\sqrt{x+x^2}</math> שוב נסכל על <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x^2}</math> ולכן גם כן מתכנס לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתכנס. {{משל}}
{{כותרת נושא|התכנסות של פונקציות|נושא שני}}
לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות <math>f_n=\frac1{x^n}</math>. קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-<math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty=\left\{\frac1{x^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. לדגמה, נבחר <math>x>1</math>. קל לראות ש-<math>\lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}0</math>, ולכן <math>f(x)=0</math> היא פונקצית הגבול.
==הגדרות==
* סדרה <math>\{f_n\}</math> של פונקציות היא התאמה שבה לכל n טבעי מותאמת פונקציה <math>f_n</math>.
* אם לכל <math>x_0</math> בקטע הסדרה <math>\{f_n(x_0)\}</math> מתכנסת, אז נאמר כי סדרת הפונקציות "מתכנסת נקודתית" ונסמן <math>f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math>.
==דוגמה 1==
קבעו התכנסות של <math>f_n(x)=x^n</math> ב-<math>[0,1]</math>.
===פתרון===
נחלק לשני מקרים:
* אם <math>x=1</math> אז <math>f(1)=\lim_{n\to\infty}1^n=1</math>.
* אם <math>x\in[0,1)</math> אז <math>f(x)=0</math>.
==דוגמה 2==
בדקו התכנסות של <math>f_n(x)=\frac1{1+n^2x^2}</math> ב-<math>\mathbb R</math>.
===פתרון===
נחלק למקרים:
* <math>x=0\implies f(x)=\frac1{1+0}=1</math>
* <math>x\ne0\implies f(x)=\frac1{1+\infty}=0</math>
'''הגדרה:''' תהינה <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בקטע I. נאמר כי <math>f_n</math> מתכנסת במ"ש אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon</math>.
==דוגמה 3==
נתונה <math>f_n(x)=\left(1+\frac1n\right)x^2</math>. קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-<math>(0,1)</math>.
===פתרון===
במקרה שלנו קל לראות ש-<math>f_n(x)</math> מתכנסת נקודתית ל-<math>x^2</math> כי <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)x^2=\lim_{n\to\infty}x^2+\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{n^2}=x^2+0=x^2</math>
====מסקנה====
<math>f(x)=x^2</math>
עבור התכנסות במ"ש נבדוק פי הגדרה צריך לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> ולכל <math>x\in I</math> בקטע מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon</math> נציב <math>|f_n(x)-f(x)|=\left|\left(1+\frac1n\right)x^2-x^2|=\frac{x^2}n\le\frac1n<\varepsilon</math> ולכן מספיק לבחור <math>n_0\ge\frac1\varepsilon</math> ונקבל את הדרוש.
==דוגמה 4==
הראה כי <math>f_n(x)=x^n</math> לא מתכנסת במ"ש ב-<math>(0,1)</math>.
===פתרון===
מצאנו בדוגמה 2 ש-<math>f(x)=0</math>. נשים לב כי <math>\lim_{x\to1}x^n=1</math> ז"א <math>\forall n>n_0:\ \exists x_0:\ \frac12<x_0^n<\frac32</math> (לפי הגדרת
==דוגמה 1==
ראינו בשיעור שעבר כי <math>\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac1x\right)}x\mathrm dx</math> מתכנס לפי דיריכלה. נראה שלא מתכנס בהחלט.
===פתרון===
ברור כי <math>-1\le\cos\left(\frac1x\right)\le1</math> ולכן <math>\cos^2\left(\frac1x\right)\le\left|\cos\left(\frac1x\right)\right|</math>. מספיק להסתכל על <math>\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac1x\right)}x\mathrm dx=\underline{\frac12\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac2x\right)}x\mathrm dx}_I+\underline{\frac12\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}x}_{II}</math>. ברור שאינטגרל II מתבדר, ולכן אם אינטגרל I מתכנס אז סיימנו את ההוכחה: נציב <math>y=\frahttp://www.math-wiki.com/skins/common/images/button_math.pngc2x</math> ואז <math>\mathrm dx=\frac{-2}{y^2}\mathrm dy</math> נקבל <math>\int\limits_{-\infty}^2 \frac{\cos(y)}{2/y}\frac{-2\mathrm dy}{y^2}=\int\limits_2^\infty \frac{\cos(y)}y\mathrm dy</math> שמתכנס לפי דיריכלה. {{משל}}
==דוגמה 2==
קבעו האם <math>\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x+x^2}</math> מתכנס או מתבדר.
===פתרון===
נחלק לשני אינטגרלים <math>\int\limits_0^\infty=\int\limits_0^1+\int\limits_1^\infty</math> עבור <math>x\in(0,1]</math> <math>x+x^2\ge x</math>, לכן <math>\frac1\sqrt{x+x^2}\le\frac1\sqrt x</math>. ברור ש-<math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה <math>\int\limits_0^1</math> מתכנס.
עבור <math>x\in[1,\infty)</math> <math>\frac1\sqrt{x^3}\ge\frac1\sqrt{x+x^2}</math> שוב נסכל על <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x^2}</math> ולכן גם כן מתכנס לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתכנס. {{משל}}
{{כותרת נושא|התכנסות של פונקציות|נושא שני}}
לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות <math>f_n=\frac1{x^n}</math>. קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-<math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty=\left\{\frac1{x^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. לדגמה, נבחר <math>x>1</math>. קל לראות ש-<math>\lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}0</math>, ולכן <math>f(x)=0</math> היא פונקצית הגבול.
==הגדרות==
* סדרה <math>\{f_n\}</math> של פונקציות היא התאמה שבה לכל n טבעי מותאמת פונקציה <math>f_n</math>.
* אם לכל <math>x_0</math> בקטע הסדרה <math>\{f_n(x_0)\}</math> מתכנסת, אז נאמר כי סדרת הפונקציות "מתכנסת נקודתית" ונסמן <math>f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math>.
==דוגמה 1==
קבעו התכנסות של <math>f_n(x)=x^n</math> ב-<math>[0,1]</math>.
===פתרון===
נחלק לשני מקרים:
* אם <math>x=1</math> אז <math>f(1)=\lim_{n\to\infty}1^n=1</math>.
* אם <math>x\in[0,1)</math> אז <math>f(x)=0</math>.
==דוגמה 2==
בדקו התכנסות של <math>f_n(x)=\frac1{1+n^2x^2}</math> ב-<math>\mathbb R</math>.
===פתרון===
נחלק למקרים:
* <math>x=0\implies f(x)=\frac1{1+0}=1</math>
* <math>x\ne0\implies f(x)=\frac1{1+\infty}=0</math>
'''הגדרה:''' תהינה <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בקטע I. נאמר כי <math>f_n</math> מתכנסת במ"ש אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon</math>.
==דוגמה 3==
נתונה <math>f_n(x)=\left(1+\frac1n\right)x^2</math>. קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-<math>(0,1)</math>.
===פתרון===
במקרה שלנו קל לראות ש-<math>f_n(x)</math> מתכנסת נקודתית ל-<math>x^2</math> כי <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)x^2=\lim_{n\to\infty}x^2+\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{n^2}=x^2+0=x^2</math>
====מסקנה====
<math>f(x)=x^2</math>
עבור התכנסות במ"ש נבדוק פי הגדרה צריך לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> ולכל <math>x\in I</math> בקטע מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon</math> נציב <math>|f_n(x)-f(x)|=\left|\left(1+\frac1n\right)x^2-x^2|=\frac{x^2}n\le\frac1n<\varepsilon</math> ולכן מספיק לבחור <math>n_0\ge\frac1\varepsilon</math> ונקבל את הדרוש.
==דוגמה 4==
הראה כי <math>f_n(x)=x^n</math> לא מתכנסת במ"ש ב-<math>(0,1)</math>.
===פתרון===
מצאנו בדוגמה 2 ש-<math>f(x)=0</math>. נשים לב כי <math>\lim_{x\to1}x^n=1</math> ז"א <math>\forall n>n_0:\ \exists x_0:\ \frac12<x_0^n<\frac32</math> (לפי הגדרת
