שינויים

<math>\{f_n\}</math> היא סדרת פונקציות בעלות השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math> קיים כך שקיים כך שלכל n מתקיים <math>T_a^\overset b (\underset aV f_n)\le M</math>. הוכח או הפרך: אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> אז <math>T_a^\overset b (\underset aV f)<\infty</math>.

''תשובה שגויההוכחה:'' נקח ניקח חלוקה כלשהי <math>P=\{x_k\}_{k=0}^m</math> של <math>[a,b]</math>. לכל n מתקיים <math>v(f_n,P)=\sum_{k=1}^m |f_n(x_k)-f_n(x_{k-1})|\le M</math>. נשאיף <math>n\to\infty</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^m |f(x_k)-f(x_{k-1})|\le M</math> באופן בלתי תלוי ב-P. לכן <math>T_a^\overset b(\underset aV f)\le M</math>.{{משל}}

דוגמה נגדיתנעיר כי אם אין חסם עליון M להשתנויות הכלליות של סדרת הפונקציות אזי הטענה מופרכת: "ידוע" ברור שהפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}x \sin\left(1/x\frac1x\right)&x\ne 0ne0\\0&\text{else}\end{cases}</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> ובעלת השתנות בלתי חסומה בקטע. נגדיר <math>f_n(x)=\begin{cases}0&0\le x\le\frac1{\pi n}\\x\sin\left(1/x\frac1x\right)&\text{else}\end{cases}</math> לכל n. נעיר שלכל n יש ל-<math>f_n(x)</math> השתנות חסומה. טענה: נוכיח כי <math>f_n\to f </math> במ"ש ב-<math>[0,1]</math> . הוכחה: עבור <math>\frac1/{\pi n}<x\le 1</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|=0</math> ואילו אם <math>0\le x\le \frac1{\pi n}</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|=|f(x)|=\left|x\sin\left(1/x\frac1x\right)\right|\le |x|\le\frac1{\pi n}\to0</math>, ששואף ל-0 ולכן ההתכנסות במ"ש.