שינויים
/* תרגיל 5.11 */
ב. תהא A מטריצה מרוכבת כך ש <math>tr(AA^*)=0</math> הוכח ש-A הינה מטריצת האפס. (<math>A^*:=\overline{A^t}</math>)
====פתרון====
א. נסמן ב <math>R_i(A)</math> את השורה ה-i של המטריצה A וב <math>C_i(A)</math> את העמודה ה-i של המטריצה A. מכיוון שהמטריצה המשוחלפת מתקבלת על ידי החלפת שורות ועמודות של המטריצה המקורית תמיד מתקיים ש <math>R_i(A)=[C_i(A^t)]^t</math> (השחלוף החיצוני הינו על מנת להפוך את וקטור העמודה לוקטור שורה).
כמו כן, נשים לב שבכפל מטריצות מתקיים תמיד <math>[AB]_{ij}=R_i(A)B_j(B)</math>.
כעת, <math>tr(AA^t)=\sum_{i=1}^m[AA^t]_{ii}=\sum_{i=1}^mR_i(A)C_i(A^t)=\sum_{i=1}^mR_i(A)(R_i(A^t))^t</math>
נשים לב שבאופן כללי, בהנתן <math>v=(x_1,...,x_n)</math> מתקיים ש <math>vv^t = x_1^2+x_2^2+...+x^n^2</math>.
ביחד ניתן להסיק ש<math>tr(AA^t)</math> שווה לסכום הריבועים של '''כל איברי המטריצה'''. מכיוון שריבוע גדול או שווה לאפס, מתקיים שסכום ריבועים הוא אפס אם"ם כל האיברים הם אפס, ולכן המטריצה הינה מטריצת האפס.
ב. עבור המרוכבים ההוכחה הינה דומה, פשוט מקבלים עבור וקטור מרוכב כללי <math>v=(z_1,...,z_n)</math> מתקיים ש <math>vv^*=|z_1|^2+...+|z_n|^2</math> ואז בעזרת טענה דומה מקבלים שכל איברי המטריצה הינם אפס.
