שינויים
חזרה ל[http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] הינה שפת הבסיס של המתמטיקטים כפי שלמדנו בקורס [[88-101 חשיבה מתמטיתמשפטים]]. זו שפה המכילה קשרים לוגיים (או, וגם, שלילה, גרירה), כמתים (לכל, קיים), פסוקים ("לכל x קיים y הגדול ממנו") ופרדיקטים ("ל-x קיים y הגדול ממנו"). '''הוכחה''' בשפה זו היא אוסף משפטים אשר כל אחד נובע מקודמיו, או ידוע כנכון מהוכחה אחרת, או אקסיומה.
'''הגדרה:''' בלוגיקה מסדר ראשון, '''מערכת אקסיומטית ראוייה''' הינה אוסף סופי או בן מנייה של משפטים מהשפה הנקראים '''אקסיומות''' המכיל את אוסף האקסיומות הבסיסיות של האריתמטיקה (אלו המאפשרות לנו לבנות את המספרים הטבעיים) '''הגדרה:''' מערכת אקסיומתית אקסיומטית נקראת '''עקבית''' אם לא קיים משפט בתאוריה שגם הוא וגם השלילה שלו ניתנים להוכחה. '''הגדרה:''' מערכת אקסיומטית נקראת '''שלימה''' אם ניתן להוכיח או להפריך כל משפט הניתן לניסוח בתאוריה. ===משפט אי השלימות הראשון של גדל===::--מערכת אקסיומטית ראוייה היא שלימה אם ורק אם היא אינה עקבית. במילים פשוטות, אם התאורייה שלימה היא מכילה סתירה ואז ניתן להוכיח כל משפט בה (שכן שקר גורר כל דבר). תאוריה ללא סתירות אינה שלימה, לכן בהכרח יש משפט אמיתי בה שלא ניתן להוכחה. [[הוכחת משפט אי השלימות הראשון של גדל|הוכחת המשפט]] ===משפט אי השלימות השני של גדל===::--מערכת אקסיומטית ראוייה הינה עקבית אם"ם לא ניתן להוכיח שהיא עקבית (על ידי הוכחה בתוך התאוריה) במילים פשוטות, אפילו אם התמזל מזלינו למצוא תאוריה עקבית, אין דרך להוכיח את העקביות הזו בתוך התאוריה. [[הוכחת משפט אי השלימות השני של גדל|הוכחת המשפט]] [[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]