שינויים
יצירת דף עם התוכן "== הגדרה == יהי <math>F</math> שדה. ביטוי פורמלי מהצורה <math>\sum_{i=0}^na_ix^i=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n</math> כאשר <math>n\geq0</..."
== הגדרה ==
יהי <math>F</math> שדה. ביטוי פורמלי מהצורה <math>\sum_{i=0}^na_ix^i=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n</math> כאשר <math>n\geq0</math> ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in F</math> נקרא '''פולינום במשתנה <math>x</math> מעל <math>F</math>'''. האיברים <math>a_0,\ldots,a_n</math> נקראים '''מקדמי הפולינום'''.
נניח כי <math>m\leq n</math> אנו נתייחס אל שני פולינומים <math>\sum_{i=0}^na_ix^i,\,\sum_{j=1}^mb_jx^j</math> כאל שווים אם <math>a_i=b_i</math> עבור <math>0\leq i\leq m</math> ו-<math>a_i=0</math> עבור <math>m<i\leq n</math>.
כל פולינום <math>f(x)</math> שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שווה לפולינום <math>a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n</math> עם <math>a_n\neq 0</math>. המספר <math>n</math> נקרא '''דרגת הפולינום''' ומסומן ב-<math>\deg f</math>. מעלת פולינום ה-0 לעיתים מוגדרת להיות <math>-\infty</math>.
'''הערה:''' כל פולינום <math>f(x)=a_0+a_1x_1\ldots+a_nx^n</math> משרה פונקציה מ-<math>F</math> לעצמו ששולחת את <math>u\in F</math> ל-<math>f(u):=a_0+a_1u+\ldots+a_nu^n</math>. אם השדה <math>F</math> סופי, ייתכן כי שני פולינומים שונים ישרו אותה פונקציה.
'''אוסף הפולינומים מעל <math>F</math> במשתנה <math>x</math>''' יסומן ב-<math>F[x]</math>.
מגידירים על <math>F[x]</math> חיבור וכפל על ידי הנוסחאות:
* <math>\sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i=1}^nb_ix^n=\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)x^n</math>.
* <math>\sum_{i=0}^na_ix^i\cdot\sum_{j=0}^mb_jx^j=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m,m+n=k}a_ib_j\right)x^k</math>
יהי <math>F</math> שדה. ביטוי פורמלי מהצורה <math>\sum_{i=0}^na_ix^i=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n</math> כאשר <math>n\geq0</math> ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in F</math> נקרא '''פולינום במשתנה <math>x</math> מעל <math>F</math>'''. האיברים <math>a_0,\ldots,a_n</math> נקראים '''מקדמי הפולינום'''.
נניח כי <math>m\leq n</math> אנו נתייחס אל שני פולינומים <math>\sum_{i=0}^na_ix^i,\,\sum_{j=1}^mb_jx^j</math> כאל שווים אם <math>a_i=b_i</math> עבור <math>0\leq i\leq m</math> ו-<math>a_i=0</math> עבור <math>m<i\leq n</math>.
כל פולינום <math>f(x)</math> שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שווה לפולינום <math>a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n</math> עם <math>a_n\neq 0</math>. המספר <math>n</math> נקרא '''דרגת הפולינום''' ומסומן ב-<math>\deg f</math>. מעלת פולינום ה-0 לעיתים מוגדרת להיות <math>-\infty</math>.
'''הערה:''' כל פולינום <math>f(x)=a_0+a_1x_1\ldots+a_nx^n</math> משרה פונקציה מ-<math>F</math> לעצמו ששולחת את <math>u\in F</math> ל-<math>f(u):=a_0+a_1u+\ldots+a_nu^n</math>. אם השדה <math>F</math> סופי, ייתכן כי שני פולינומים שונים ישרו אותה פונקציה.
'''אוסף הפולינומים מעל <math>F</math> במשתנה <math>x</math>''' יסומן ב-<math>F[x]</math>.
מגידירים על <math>F[x]</math> חיבור וכפל על ידי הנוסחאות:
* <math>\sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i=1}^nb_ix^n=\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)x^n</math>.
* <math>\sum_{i=0}^na_ix^i\cdot\sum_{j=0}^mb_jx^j=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m,m+n=k}a_ib_j\right)x^k</math>
