שינויים
יצירת דף עם התוכן "אלו מבין המטריצות הבאות דומות? <math>A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\be..."
אלו מבין המטריצות הבאות דומות?
<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>
אנו יודעים כי מטריצות בעלות צורת ג'ורדן הנן זהות, לכן נחשב את מטריצות הגו'רדן של המטריצות הנ"ל.
נתחיל במטריצה הקלה ביותר, <math>D</math>. היא אלכסונית, ולכן <math>P_{D}(x)=(x+2)(x-6)</math> וקל לראות כי גם <math>M_{D}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן <math>J_{D}=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>
נחשב את צורת הג'ורדן של<math> A</math>: <math>P_{A}(x)=\begin{vmatrix}
x-2 &8 \\
2 &x-2
\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)</math> ונקבל כי גם <math>M_{A}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן גם <math>J_{A}=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>
נחשב את צורת הגו'רדן של<math> B</math>: <math>P_{B}(x)=\begin{vmatrix}
x-2 &0 \\
2 &x-2
\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-0=(x-2)^{2}</math> כעת צריך לחשב את הפולינום המינימלי של <math>B</math>. קל לראות כי <math>M_{B}(x)=(x-2)^{2}</math> (שכן <math>(B-2I)\neq 0</math> ) ולכן <math>J_{B}=\begin{pmatrix}
2 &1 \\
0 &2
\end{pmatrix}</math>
וכעת נחשב את צורת הג'ורדן של <math>C</math> : <math>P_{C}(x)=\begin{vmatrix}
x-2 &4 \\
4 &x-2
\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)</math> ולכן גם <math>M_{B}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן <math>J_{B}=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>
ובסה"כ קבלנו כי<math> A\sim C\sim D</math> ו <math>B</math> אינה דומה לאף מטריצה מבניהם.
<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>
אנו יודעים כי מטריצות בעלות צורת ג'ורדן הנן זהות, לכן נחשב את מטריצות הגו'רדן של המטריצות הנ"ל.
נתחיל במטריצה הקלה ביותר, <math>D</math>. היא אלכסונית, ולכן <math>P_{D}(x)=(x+2)(x-6)</math> וקל לראות כי גם <math>M_{D}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן <math>J_{D}=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>
נחשב את צורת הג'ורדן של<math> A</math>: <math>P_{A}(x)=\begin{vmatrix}
x-2 &8 \\
2 &x-2
\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)</math> ונקבל כי גם <math>M_{A}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן גם <math>J_{A}=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>
נחשב את צורת הגו'רדן של<math> B</math>: <math>P_{B}(x)=\begin{vmatrix}
x-2 &0 \\
2 &x-2
\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-0=(x-2)^{2}</math> כעת צריך לחשב את הפולינום המינימלי של <math>B</math>. קל לראות כי <math>M_{B}(x)=(x-2)^{2}</math> (שכן <math>(B-2I)\neq 0</math> ) ולכן <math>J_{B}=\begin{pmatrix}
2 &1 \\
0 &2
\end{pmatrix}</math>
וכעת נחשב את צורת הג'ורדן של <math>C</math> : <math>P_{C}(x)=\begin{vmatrix}
x-2 &4 \\
4 &x-2
\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)</math> ולכן גם <math>M_{B}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן <math>J_{B}=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>
ובסה"כ קבלנו כי<math> A\sim C\sim D</math> ו <math>B</math> אינה דומה לאף מטריצה מבניהם.
