שינויים
/* אוסף בעיות שניתקלתי בהן ולא הצלחתי לפתור */ פסקה חדשה
:תפתח שאלה חדשה י'מעצבן... [בא לי למחוק את השאלה שלך]
== אוסף בעיות שניתקלתי בהן ולא הצלחתי לפתור ==
-תהיינה <math>N1</math>,<math>N2</math> מטריצות מסדר 3x3 (מעל אותו שדה, כמובן). צריך להוכיח: המטריצות דומות אמ"ם יש להן אותו פולינום מינימאלי.
-השתמש בתוצאה של התרגיל הקודם כדי להוכיח את המשפטון הבא:
תהיינה A,B מטריצות מסדר <math>nxn</math> מעל אותו שדה בעלות אותו פ"א <math>f(X)=(X-\lambda_1)^{a_1}...(X-\lambda_k)^{a_k}</math> ואותו פולינום מינימאלי. הוכח: אם אף <math>a_i</math> אינו גדול מ3 אז, A דומה לB.
-אם A מט' מסדר nxn בעלת פ"א <math>f(X)=(X-\lambda_1)^{a_1}...(X-\lambda_k)^{a_k}</math> מהו <math>tr(A)</math>?
- תהיינה A,B מט' נילפוטנטיות מסדר 6x6 בעלות אותו פולינום מינימאלי ואותו מרחב אפס. צריך להוכיח שהן דומות ושהדבר לא נכון עבור מטריצות נילפוטנטיות מסדר 7x7.
- השתמש בפתרון של התרגיל הקודם כדי להוכיח את המשפטון הבא: A,B מטריצות מסדר nxn בעלות אותו פ"א <math>f(X)=(X-\lambda_1)^{a_1}...(X-\lambda_k)^{a_k}</math> ופולינום מינימאלי. נניח גם שלכל i הממידים של מרחבי האפס של המטריצות <math>(A-c_iI)</math> ,<math>(B-c_iI)</math> שווים. אם אף <math>d_i</math> אינו גדול מ6, אז A ו-B דומות.
-יהי <math>n\geq2</math> טבעי ותהי מט' A מסדר nxn ונילפוטנטית מסדר n (כלומר <math>A^n=0</math> אבל <math>A^{n-1}\neq0</math>). הוכח שאין מטריצה B מסדר nxn המקיימת <math>B^2=A</math>.
