שינויים
יצירת דף עם התוכן "ראשית נראה שהמספר לא יכול להיות גדול מ-3, ואז נראה שניתן לבנות דוגמה של 3 מטריצות שכאלה. בכך ..."
ראשית נראה שהמספר לא יכול להיות גדול מ-3, ואז נראה שניתן לבנות דוגמה של 3 מטריצות שכאלה. בכך תושלם ההוכחה.
ידוע שמטריצות דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. כאן כל שתי מטריצות שונות אינן דומות, ולכן לכל אחת מהן יש צורת ז'ורדן שונה. הן נילפוטנטיות, ולכן בצורת ז'ורדן שלהן הבלוקים המופיעים שייכים לע"ע 0 - כלומר הם בלוקים נילפוטנטיים. הבלוק יכול להיות מסדר של לכל היותר 3, והסדר חייב להיות טבעי. נוסף על כך, סכום הסדרים של הבלוקים בצורת ז'ורדן צריך להסתכם ל-3.
המשימה שלנו, אם כך, היא למצוא בכמה דרכים שונות ניתן למלא מטריצת בלוקים שהיא מסדר 3 בבלוקים נילפוטנטיים.
אם יש במטריצה בלוק מסדר 3, אזי בלוק זה חייב להיות המטריצה עצמה; לכן קיבלנו את האפשרות <math>J_3</math>.
אם יש במטריצה בלוק מסדר 2, אזי הבלוק האחר חייב להיות מסדר 1; לכן קיבלנו את האפשרות <math>\begin{matrix}
J_2 & \\
& J_1
\end{matrix}</math>.
האפשרות היחידה שנותרה היא שיש במטריצה בלוק מסדר 1, אבל אין בה בלוקים מסדר 2 ו-3. כלומר קיבלנו את האפשרות <math>\begin{pmatrix}
J_1 & & \\
& J_1 & \\
& & J_1
\end{pmatrix}</math>.
קיבלנו שמספר הדרכים השונות הוא 3, ולכן לא ייתכן שתהיינה יותר מ3 מטריצות שתצייתנה לתנאי השאלה (שכן אחרת נקבל שצורות ז'ורדן שלהן שונות, ושיש יותר מ-3, בסתירה).
נותר לבנות דוגמא של 3: ניקח את המטריצות
<math><math>\begin{pmatrix}
J_1 & & \\
& J_1 & \\
& & J_1
\end{pmatrix}</math>.
</math>, <math>\begin{matrix}
J_2 & \\
& J_1
\end{matrix}</math>, <math>J_3</math>.
כל אחת מהן נילפוטנטית, ולמעשה כבר הראינו שאף שתיים מהן אינן דומות - שכן הן צורות ז'ורדן של עצמן, והן שונות אחת מהשנייה.
ידוע שמטריצות דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. כאן כל שתי מטריצות שונות אינן דומות, ולכן לכל אחת מהן יש צורת ז'ורדן שונה. הן נילפוטנטיות, ולכן בצורת ז'ורדן שלהן הבלוקים המופיעים שייכים לע"ע 0 - כלומר הם בלוקים נילפוטנטיים. הבלוק יכול להיות מסדר של לכל היותר 3, והסדר חייב להיות טבעי. נוסף על כך, סכום הסדרים של הבלוקים בצורת ז'ורדן צריך להסתכם ל-3.
המשימה שלנו, אם כך, היא למצוא בכמה דרכים שונות ניתן למלא מטריצת בלוקים שהיא מסדר 3 בבלוקים נילפוטנטיים.
אם יש במטריצה בלוק מסדר 3, אזי בלוק זה חייב להיות המטריצה עצמה; לכן קיבלנו את האפשרות <math>J_3</math>.
אם יש במטריצה בלוק מסדר 2, אזי הבלוק האחר חייב להיות מסדר 1; לכן קיבלנו את האפשרות <math>\begin{matrix}
J_2 & \\
& J_1
\end{matrix}</math>.
האפשרות היחידה שנותרה היא שיש במטריצה בלוק מסדר 1, אבל אין בה בלוקים מסדר 2 ו-3. כלומר קיבלנו את האפשרות <math>\begin{pmatrix}
J_1 & & \\
& J_1 & \\
& & J_1
\end{pmatrix}</math>.
קיבלנו שמספר הדרכים השונות הוא 3, ולכן לא ייתכן שתהיינה יותר מ3 מטריצות שתצייתנה לתנאי השאלה (שכן אחרת נקבל שצורות ז'ורדן שלהן שונות, ושיש יותר מ-3, בסתירה).
נותר לבנות דוגמא של 3: ניקח את המטריצות
<math><math>\begin{pmatrix}
J_1 & & \\
& J_1 & \\
& & J_1
\end{pmatrix}</math>.
</math>, <math>\begin{matrix}
J_2 & \\
& J_1
\end{matrix}</math>, <math>J_3</math>.
כל אחת מהן נילפוטנטית, ולמעשה כבר הראינו שאף שתיים מהן אינן דומות - שכן הן צורות ז'ורדן של עצמן, והן שונות אחת מהשנייה.
