שינויים
יצירת דף עם התוכן "א. נתון שהפולינום האופייני של האופרטור הוא: <math>P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2</math> . סכום החזקות של הפולינום המ..."
א. נתון שהפולינום האופייני של האופרטור הוא: <math>P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2</math> . סכום החזקות של הפולינום המינימלי של האופרטור הוא 6, ולכן צורת ז'ורדן היא מסדר 6X6. צורת זו'רדן של האופרטור תיראה מהצורה: <math>\begin{pmatrix}
G1 & 0\\
0& G2
\end{pmatrix}</math> כאשר G1, G2 הם בלוקים השייכים לע"ע של האופרטור 2 ו-3 בהתאמה.
אמצא את G1, השייך לע"ע 2:
ריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני הוא 4, ולכן G1 הוא מסדר 4X4. הפולינום המינימלי של האופרטור הוא: <math>M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2</math> וריבויו האלגברי של הע"ע 2 בו הוא 2. לכן, בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע ב-G1 הוא מסדר 2X2. כלומר, ל-G1 מספר אפשרויות: <math>diag\left \{ J_2(2), J_2(2) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_2(2), J_1(2), J_1(2) \right \}</math>.
אמצא את G2, השייך לע"ע 3:
ריבוי האלגברי של הע"ע 3 בפולינום האופייני הוא 2, ולכן G2 הוא מסדר 2X2. ריבויו האלגברי של הע"ע 3 בפולינום המינימלי הוא גם 2, ולכן בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע בו יהיה מסדר 2X2. ולכן, ל-G2 יש רק אפשרות אחת, והיא: <math>diag\left \{ J_2(3)\right \}</math>
ולכן, כל צורות ז'ורדן האפשריות לאופרטור הן:
<math>diag\left \{ J_2(2), J_2(2),J_2(3) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_2(2), J_1(2), J_1(2),J_2(3) \right \}</math>.
<math>\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0& 0 & 2 & 1 & 0& 0\\
0& 0 & 0& 2 & 0& 0\\
0& 0&0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}</math> או <math>\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0& 0 & 2 & 0 & 0& 0\\
0& 0 & 0& 2 & 0& 0\\
0& 0&0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}</math>
ב. הפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-4)^5</math> , ולכן צורת ז'ורדן היא מסדר 5X5. בנוסף, נתון ש: <math>dim(ker(T-4I))=3</math>. עפ"י הנוסחא הבאה, מספר בלוקי הז'ורדן של הע"ע <math>\lambda</math> של האופרטור המופיעים בצורת ז'ורדן שלו הם: <math>n-dim(ker(T-\lambda I)</math>
ולכן, עבור הע"ע <math>\lambda=4</math> מספר בלוקי הז'ורדן הם: <math>n-dim(ker(T-4I))=5-3=2</math> כלומר 2. מכיוון שאינינו יודעים את הריבוי האלגברי של הפולינום המינימלי, אין לדעת מהו הסדר של בלוק הז'ורדן הגדול ביותר, ולכן ישנן 2 אפשרויות:
<math>diag\left \{ J_4(4),J_1(4) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_3(4),J_2(4) \right \}</math>.
<math>\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 &0 \\
0 & 4 &1 &0 &0 \\
0 & 0 &4 &1 &0 \\
0 & 0 & 0 & 4 &0\\
0 & 0 & 0 & 0 &4
\end{pmatrix}</math> או <math>\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 &0 \\
0 & 4 &1 &0 &0 \\
0 & 0 &4 &0 &0 \\
0 & 0 & 0 & 4 &1\\
0 & 0 & 0 & 0 &4
\end{pmatrix}</math>
מ.ש.ל (:
G1 & 0\\
0& G2
\end{pmatrix}</math> כאשר G1, G2 הם בלוקים השייכים לע"ע של האופרטור 2 ו-3 בהתאמה.
אמצא את G1, השייך לע"ע 2:
ריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני הוא 4, ולכן G1 הוא מסדר 4X4. הפולינום המינימלי של האופרטור הוא: <math>M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2</math> וריבויו האלגברי של הע"ע 2 בו הוא 2. לכן, בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע ב-G1 הוא מסדר 2X2. כלומר, ל-G1 מספר אפשרויות: <math>diag\left \{ J_2(2), J_2(2) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_2(2), J_1(2), J_1(2) \right \}</math>.
אמצא את G2, השייך לע"ע 3:
ריבוי האלגברי של הע"ע 3 בפולינום האופייני הוא 2, ולכן G2 הוא מסדר 2X2. ריבויו האלגברי של הע"ע 3 בפולינום המינימלי הוא גם 2, ולכן בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע בו יהיה מסדר 2X2. ולכן, ל-G2 יש רק אפשרות אחת, והיא: <math>diag\left \{ J_2(3)\right \}</math>
ולכן, כל צורות ז'ורדן האפשריות לאופרטור הן:
<math>diag\left \{ J_2(2), J_2(2),J_2(3) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_2(2), J_1(2), J_1(2),J_2(3) \right \}</math>.
<math>\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0& 0 & 2 & 1 & 0& 0\\
0& 0 & 0& 2 & 0& 0\\
0& 0&0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}</math> או <math>\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0& 0 & 2 & 0 & 0& 0\\
0& 0 & 0& 2 & 0& 0\\
0& 0&0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}</math>
ב. הפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-4)^5</math> , ולכן צורת ז'ורדן היא מסדר 5X5. בנוסף, נתון ש: <math>dim(ker(T-4I))=3</math>. עפ"י הנוסחא הבאה, מספר בלוקי הז'ורדן של הע"ע <math>\lambda</math> של האופרטור המופיעים בצורת ז'ורדן שלו הם: <math>n-dim(ker(T-\lambda I)</math>
ולכן, עבור הע"ע <math>\lambda=4</math> מספר בלוקי הז'ורדן הם: <math>n-dim(ker(T-4I))=5-3=2</math> כלומר 2. מכיוון שאינינו יודעים את הריבוי האלגברי של הפולינום המינימלי, אין לדעת מהו הסדר של בלוק הז'ורדן הגדול ביותר, ולכן ישנן 2 אפשרויות:
<math>diag\left \{ J_4(4),J_1(4) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_3(4),J_2(4) \right \}</math>.
<math>\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 &0 \\
0 & 4 &1 &0 &0 \\
0 & 0 &4 &1 &0 \\
0 & 0 & 0 & 4 &0\\
0 & 0 & 0 & 0 &4
\end{pmatrix}</math> או <math>\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 &0 \\
0 & 4 &1 &0 &0 \\
0 & 0 &4 &0 &0 \\
0 & 0 & 0 & 4 &1\\
0 & 0 & 0 & 0 &4
\end{pmatrix}</math>
מ.ש.ל (:
