שינויים
עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.
באופן אינטואיטיבי, אומרים כי פונקציה מתכנסת 'יותר מהר' אל הגבול שלה, אם הדלתא הנדרש לאפסילון הוא גדול יותר (כלומר הפונקציה קרובה לגבול בתחום יותר רחב). אנו רוצים להגדיר פונקציות אשר מהירות ההתכנסות שלהן דומה בכל נקודה בקטע מסוייםמסוים.
'''הגדרה.'''
</font>
פונקציה <math>f </math> נקראת '''רציפה במידה שווה''' (רציפה במ"ש) בקטע A אם:*לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל זוג נקודות <math>x_1,x_2\in A</math> המקיימות <math>|x_1-x_2|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|<\epsilon</math>.
שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה עשויה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A.
'''הערה:''' ברור שאם פונקציה רציפה במ"ש על קטע A, היא גם רציפה במ"ש על כל קטע המוכל ב-A.
</font>
נבחן את הפונקציה <math>f(x)=x</math>, ונוכיח כי היא רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.
אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|=|x_1-x_2|<\delta=\epsilon</math>
בדוגמא הבאה נלמד כי פונקציה מסוימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסוים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר. כפי שנראה בהמשך, כל פונקציה הרציפה על קטע סופי וסגור רציפה בו במ"ש, ואילו ישנן פונקציות רציפות שאינן רציפות במ"ש על כל ציר הממשיים.
ראשית, נביט ב <math>f(x)=x^2</math> על הקטע הסופי <math>(a,b)</math> . יהי <math>\epsilon>0</math> , אזי:
:<math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|=\Big|x_1^2-x_2^2\Big|=\Big|(x_1-x_2)(x_1+x_2)\Big|\le|x_1-x_2|\cdot2\max(|a|,|b|)</math>
עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> על כל הממשיים, ונוכיח כי היא אינה רציפה שם במ"ש.
ניקח <math>\epsilon=1</math> . צריך להוכיח כי לכל <math>\delta>0</math> קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים <math>|x_1-x_2|<\delta</math> וגם <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|\ge1</math> .
ברור שאם נגדיל את <math>x_1</math> מספיק נקבל את הדרוש.
===משפט - תנאי הכרחי (אך לא מספיק) לרציפות במ"ש===
פונקציה הרציפה במ"ש על קטע רציפה שם, דהיינו אם הפונקציה לא רציפה או לא מוגדרת בנקודה אחת בקטע (לפחות) היא אינה רציפה שם במ"ש.
===משפט - תנאי שקול לאי-רציפות במ"ש - שיטת הסדרות===
פונקציה f '''אינה''' רציפה במ"ש בקטע A אם"ם קיים זוג סדרות (עם אברים מ-A) המקיימות:
:<math>|x_n-y_n|\rightarrow0</math>
וגם
:<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\rightarrow0</math>
===משפט - תנאי הכרחי (אבל לא מספיק) לרציפות במ"ש - חסימות על קטע סופי===
פונקציה רציפה במ"ש על קטע סופי חסומה שם
דוגמא נגדית לכיוון ההפוך - <math>f(x)=\sin\Bigleft(\fractfrac{1}{x}\Bigright)</math> חסומה אך אינה רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math>
===משפט קנטור===
[[משפטים/אינפי/קנטור|הוכחה]]
===משפט- הרכבת פונקציות רציפות במ"ש===תהי נניח <math>f </math> רציפה במ"ש על קטע חצי אינסופי מהצורה המכיל את התמונה של פונקציה רציפה במ"ש <math>[a,\infty)g</math>, כך שהגבול::. אזי ההרכבה <math>\lim_{x\rightarrow\infty}f(g(x)=L)</math>רציפה במ"ש
'''הוכחה.'''
יהי <math>\epsilon>0</math> .
<math>f</math> רציפה במ"ש ב- <math>(a,b]</math> ולכן קיים <math>\delta_1>0</math> כך שלכל <math>x,y\in(a,b]</math> המקיימים <math>|x-y|<\delta_1</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math> .
<math>f</math> רציפה במ"ש ב- <math>[b,c)</math> ולכן קיים <math>\delta_2>0</math> כך שלכל <math>x,y\in[b,c)</math> המקיימים <math>|x-y|<\delta_2</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math> .
יהי <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}</math> . אזי <math>\delta>0</math>. נראה שלכל <math>x,y\in(a,c)</math> המקיימים <math>|x-y|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\epsilon</math> .
נניח <math>x,y\in(a,c)</math> כך ש- <math>|x-y|<\delta</math> . יתכנו שלושה מצבים:
א) <math>x,y\in(a,b]</math> . אזי <math>|x-y|<\delta\le\delta_1</math> ומכאן <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math> .
ב) <math>x,y\in[b,c)</math> ומכיון ש- <math>|x-y|<\delta\le\delta_2</math> נסיק ש- <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math> .
ג) אחת מהנקודות ב- <math>(a,b]</math> והשניה ב- <math>[b,c)</math> . נניח בה"כ ש- <math>x\in(a,b]</math> ו- <math>y\in[b,c)</math> . מכאן <math>|x-b|\le|x-y|<\delta\le\delta_1</math> וכן <math>|y-b|\le|x-y|<\delta\le\delta_2</math> . מכאן <math>\Big|f(x)-f(b)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math> וכמו כן <math>\Big|f(b)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math> . כעת ניעזר באי-שוויון המשולש כדי לקבל <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|\le\Big|f(x)-f(b)\Big|+\Big|f(b)-f(y)\Big|<\epsilon</math>
===משפט===
תהי <math>f</math> רציפה על קטע חצי אינסופי מהצורה <math>[a,\infty)</math> , כך שהגבול
:<math>\lim_{x\to\infty}f(x)=L</math>
קיים וסופי, אזי <math>f</math> רציפה במ"ש על הקטע <math>[a,\infty)</math> .
'''הוכחה.'''
יהי אפסילון גדול מאפס<math>\epsilon>0</math> , צריך יש למצוא דלתא גדול מאפס <math>\delta>0</math> כך שאם המרחק בין זוג נקודות בקטע קטן מדלתא, המרחק בין התמונות שלהן תחת הפונקציה קטן מאפסילון.
לפי הנתון, קיים <math>M </math> כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-L\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math>.
לכן לכל <math>x_1,x_2>M</math> מתקיים <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|<\epsilon</math> (בעזרת אי שיוויון -שוויון המשולש).
כעת, לפי משפט קנטור <math>f </math> רציפה במ"ש בקטע <math>[a,M+1]</math>, ולכן קיים דלתא כך שלכל זוג נקודות <math>a\leq le x_1,x_2\leq le M+1</math> הקרובות עד -כדי דלתא, מתקיים <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|<\epsilon</math>.
אם ניקח מרחק שקטן או שווה למינימום שבין דלתא לבין אחדל- <math>\min\{\delta,1\}</math> , יתקיים שאם <math>|x_1-x_2|<\delta</math> אזי שתי הנקודות נמצאות בקטע <math>[M,\infty)</math> או בקטע <math>[a,M+1]</math> ולכן ההפרש בין התמונות שלהן תחת <math>f </math> הוא קטן מאפסילון כפי שרצינו.
===מסקנה - תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש - גבולות סופיים בקצות הקטע===
תהי <math>f </math> פונקציה '''רציפה על קטע''' לאו דווקא סופי, אזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במ"ש בקטע .
דוגמא נגדית לכיוון ההפוך - <math>f(x)=x</math> על כל ציר הממשיים.
'''שימו לב:''' יש לוודא ראשית כי הפונקציה רציפה בכל נקודה בקטע, לפני שבודקים את הגבולות בקצוות.
===משפט - תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש - נגזרת חסומה===
דוגמא נגדית לכיוון ההפוך - <math>f(x)=\sqrt{x}</math> בקטע הפתוח <math>(0,1)</math>
===משפט - תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש - מחזורית ורציפה===
פונקציה מחזורית הרציפה על כל הממשיים, רציפה במ"ש על כל הממשיים.
שימו לב: פונקציה נקראת מחזורית אם קיים מספר ממשי p כך שלכל x ממשי מתקיים:
:<math>f(x+p)=f(x)</math>
'''דוגמא.'''
<math>f(x)=e^{-\sin(x)}</math> רציפה במ"ש על כל הממשיים.
באופן דומה, כל הרכבת פונקציות רציפות, כאשר הפונקציה הכי פנימית מחזורית, רציפה במ"ש.
=='''אלגוריתם לבדיקת רציפות במ"ש'''==
[[מדיה:Uniformcontinu2013infidvir.pdf|אלגוריתם לבדיקת רציפות במ"ש]]
==תרגילים==
בדוק רציפות במ"ש של הפונקציות הבאות בקטעים הנתונים:
===1===*<math>f(x)=xsinxx\sin(x)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math>
'''פתרון.''' הפונקציה אינה רציפה במ"ש, נבנה שתי סדרות:
:<math>x_n=\frac{1}{n}+2\pi n</math>
:<math>y_n=2\pi n</math>
מתקיים
:<math>x_n-y_n=\frac{1}{n}\to0</math>
אבל
:<math>f(x_n)-f(y_n)=\left(\frac{1}{n}+2\pi n\right)\sin\Big(\tfrac{1}{n}+2\pi n\Big)\to2\pi</math>
שכן
:<math>n\sin\left(\tfrac{1}{n}\right)=\frac{\sin\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}\to1</math>
ולכן ההפרש בין תמונות הנקודות גדול מאשר אחד (למשל) החל משלב מסוים, לכן הפונקציה אינה רציפה במ"ש.
===3===
*<math>f(x)=\ln(x)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math>
מתקיים: <math>\frac{x_0+\frac{\delta}{2}}{x_0}>1\to\ln(\frac{x_0+\frac{\delta}{2}}{x_0})>0</math>
ולכן ההפרש בין תמונות הנקודות גדול מאשר אחד מספיק למצוא x כך שיתקיים <math>\frac{\delta}{2}\ln\left(למשלx_0+\tfrac{\delta}{2}\right) החל משלב מסוים, לכן הפונקציה אינה רציפה במ"ש.\ge\epsilon</math>
ניקח <math>x_0>e^{\frac{2\epsilon}{\delta}}-\frac{\delta}{2}</math> וסיימנו.
===5===
*<math>\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math>
נמצא שתי סדרות שהמרחק ביניהן שואף לאפס, אבל המרחק בין הפונקציה עליהן אינו שואף לאפס.
:<math>x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}</math>
:<math>y_n=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}</math>
רואים כי מתקיים:
<math>|x_n-y_n|\to0</math>
ולכן הפונקציה אינה רציפה במ"ש בקטע
===6===*<math>f(x)=ln\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math> בקטע <math>(0,\infty1)</math>