שינויים
יצירת דף עם התוכן "[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]] ---- '''משפט:''' נניח כי <math>lim_{x\to a^+}f(x)=lim_{x\to a^+}g(x)=0</math> ונני..."
[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]
----
'''משפט:''' נניח כי <math>lim_{x\to a^+}f(x)=lim_{x\to a^+}g(x)=0</math> ונניח עוד כי <math>f,g</math> גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים <math>lim_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L</math> אז מתקיים <math>lim_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>
'''הוכחה:''' נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g} </math> רציפות שמקיימות <math> \tilde{f}=\begin{cases}
f\left(x\right) & x\neq a\\
0 & x=a
\end{cases} \tilde{g}=\begin{cases}
g\left(x\right) & x\neq a\\
0 & x=a
\end{cases} </math>
הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי נוכל לבחור <math>c(x)</math> שמוגדרת בסביבה הימנית שבה f,g מוגדרות שמקיימת <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))} </math>
ולכן נקבל <math>\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x)}{g'(c(x)}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)} </math>
כרצוי השיוויון האחרון נוכע מכך ש<math>x<c(x)<a</math>
----
'''משפט:''' נניח כי <math>lim_{x\to a^+}f(x)=lim_{x\to a^+}g(x)=0</math> ונניח עוד כי <math>f,g</math> גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים <math>lim_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L</math> אז מתקיים <math>lim_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>
'''הוכחה:''' נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g} </math> רציפות שמקיימות <math> \tilde{f}=\begin{cases}
f\left(x\right) & x\neq a\\
0 & x=a
\end{cases} \tilde{g}=\begin{cases}
g\left(x\right) & x\neq a\\
0 & x=a
\end{cases} </math>
הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי נוכל לבחור <math>c(x)</math> שמוגדרת בסביבה הימנית שבה f,g מוגדרות שמקיימת <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))} </math>
ולכן נקבל <math>\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x)}{g'(c(x)}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)} </math>
כרצוי השיוויון האחרון נוכע מכך ש<math>x<c(x)<a</math>
