שינויים
יצירת דף עם התוכן "'''משפט לגרנז'''' הוא אחד המשפטים הבסיסיים בתורת החבורות. '''משפט'''. תהי G [[חבורה]] סופית ו-H [[תת-..."
'''משפט לגרנז'''' הוא אחד המשפטים הבסיסיים בתורת החבורות.
'''משפט'''. תהי G [[חבורה]] סופית ו-H [[תת-חבורה]] שלה, אז הסדר של H מחלק את הסדר של G.
'''הוכחת המשפט''' בשורה אחת: G היא [[איחוד זר]] של ה[[קוסט|קוסטים]] השמאליים של H, שכולם שווי-עוצמה.
'''מסקנה'''. הסדר של כל איבר בחבורה מחלק את סדר החבורה.
'''הוכחת המסקנה'''. ה[[סדר של איבר]] שווה לסדר של ה[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית]] שהוא [[תת-החבורה הנוצרת|יוצר]].
== דגשים ==
המשפט תקף לחבורות סופיות. לחבורה אינסופית יכולות להיות תת-חבורות מסדר סופי (ו[[אינדקס של תת-חבורה|אינדקס]] אינסופי), תת-חבורות מאינדקס סופי (וסדר אינסופי), ותת-חבורות שהסדר שלהן והאינדקס שלהן אינסופיים. תת-החבורות מסדר סופי של חבורה אינסופית יכולות להיות מכל סדר שהוא.
מהמשפט נובע שב[[חבורת-p]], כל תת-חבורה היא חבורת-p בעצמה.
== שאלות לדוגמא ==
* תן דוגמא נגדית ל"משפט לגרנז' של המונואידים" (הטוען, כביכול, שהסדר של [[מונויד]] סופי מתחלק בסדר של כל [[תת-מונויד]]) (89214, מבחן תשע"ב מועד א').
* '''פתרון'''.
* הסבר היכן נכשלת ההוכחה של משפט לגרנז' (של חבורות) עבור מונוידים (89214, מבחן תשע"ב מועד א').
* '''פתרון'''.
[[קטגוריה:89214]]
'''משפט'''. תהי G [[חבורה]] סופית ו-H [[תת-חבורה]] שלה, אז הסדר של H מחלק את הסדר של G.
'''הוכחת המשפט''' בשורה אחת: G היא [[איחוד זר]] של ה[[קוסט|קוסטים]] השמאליים של H, שכולם שווי-עוצמה.
'''מסקנה'''. הסדר של כל איבר בחבורה מחלק את סדר החבורה.
'''הוכחת המסקנה'''. ה[[סדר של איבר]] שווה לסדר של ה[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית]] שהוא [[תת-החבורה הנוצרת|יוצר]].
== דגשים ==
המשפט תקף לחבורות סופיות. לחבורה אינסופית יכולות להיות תת-חבורות מסדר סופי (ו[[אינדקס של תת-חבורה|אינדקס]] אינסופי), תת-חבורות מאינדקס סופי (וסדר אינסופי), ותת-חבורות שהסדר שלהן והאינדקס שלהן אינסופיים. תת-החבורות מסדר סופי של חבורה אינסופית יכולות להיות מכל סדר שהוא.
מהמשפט נובע שב[[חבורת-p]], כל תת-חבורה היא חבורת-p בעצמה.
== שאלות לדוגמא ==
* תן דוגמא נגדית ל"משפט לגרנז' של המונואידים" (הטוען, כביכול, שהסדר של [[מונויד]] סופי מתחלק בסדר של כל [[תת-מונויד]]) (89214, מבחן תשע"ב מועד א').
* '''פתרון'''.
* הסבר היכן נכשלת ההוכחה של משפט לגרנז' (של חבורות) עבור מונוידים (89214, מבחן תשע"ב מועד א').
* '''פתרון'''.
[[קטגוריה:89214]]
