נוספו 1,121 בתים,
01:02, 15 בפברואר 2012
==משפט לגראנז'==
תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>.
אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
===הוכחה===
נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>(a,f(a)),(b,f(b))</math>:
::<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצוייה.
::<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)</math>
קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו-g מקיימת את שאר תנאיי משפט רול. לכן קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. אבל:
::<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
כלומר
::<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
כפי שרצינו.
== ראו גם ==
* [[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]]
* [[משפט רול]]
[[קטגוריה:אינפי]]