שינויים
יצירת דף עם התוכן "'''חבורה''' היא קבוצה עם [[פעולה בינארית]] [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבית]] שיש לה [[איבר יחידה..."
'''חבורה''' היא קבוצה עם [[פעולה בינארית]] [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבית]] שיש לה [[איבר יחידה]], וכל איבר בה הוא [[איבר הפיך|הפיך]].
חבורות הן מבנה אלגברי נפוץ ביותר, עם דוגמאות רבות ומגוונות. החבורות שפוגשים בטבע הן בדרך כלל אלו הפועלות על משהו: [[חבורה סימטרית|חבורות סימטריה]], [[חבורת אוטומורפיזמים|חבורות אוטומורפיזמים]] או [[חבורת מטריצות|חבורות של מטריצות]]. לפני שלומדים על הסוגים האלה, כדאי להבין מהן ה[[חבורה ציקלית|חבורות הציקליות]], ולהכיר דוגמאות קלות יחסית כמו [[חבורת אוילר|חבורות אוילר]] ו[[חבורה דיהדרלית|חבורות דיהדרליות]].
כל חבורה היא בפרט [[מונויד]] ולכן גם [[חבורה למחצה]].
== ההגדרה ==
חבורה היא [[מערכת מתמטית]] <math>\ (G,\cdot,e)</math> כאשר <math>\ \cdot \co G \times G \rightarrow G</math> פעולה בינארית ו-<math>\ e\in G</math>, המקיימת את האקסיומות הבאות:
* <math>\ \forall x,y,z: (x\cdot y)\cdot z = x \cdot (y \cdot z)</math> ("אסוציאטיביות"),
* <math>\ \forall x: x \cdot e = e \cdot x = x</math> (e הוא איבר יחידה),
* <math>\ \forall x \exists y : xy = yx = e</math>.
את איבר היחידה e מסמנים לפעמים גם בסימן המוכר 1, או <math>\ 1_G</math>. בהתאם לאופי הפעולה (אם היא דומה יותר לחיבור מספרים מאשר לכפל), גם 0 עשוי להיות איבר היחידה. בכל מקרה זהותו של איבר היחידה צריכה להיות מובנת מההקשר.
כמו בחבורות למחצה, היחידה יחידה. כלומר, אין איבר של החבורה שעבורו מתקיימת האקסיומה השניה, פרט לאיבר היחידה עצמו.
[[קטגוריה:89214]]
חבורות הן מבנה אלגברי נפוץ ביותר, עם דוגמאות רבות ומגוונות. החבורות שפוגשים בטבע הן בדרך כלל אלו הפועלות על משהו: [[חבורה סימטרית|חבורות סימטריה]], [[חבורת אוטומורפיזמים|חבורות אוטומורפיזמים]] או [[חבורת מטריצות|חבורות של מטריצות]]. לפני שלומדים על הסוגים האלה, כדאי להבין מהן ה[[חבורה ציקלית|חבורות הציקליות]], ולהכיר דוגמאות קלות יחסית כמו [[חבורת אוילר|חבורות אוילר]] ו[[חבורה דיהדרלית|חבורות דיהדרליות]].
כל חבורה היא בפרט [[מונויד]] ולכן גם [[חבורה למחצה]].
== ההגדרה ==
חבורה היא [[מערכת מתמטית]] <math>\ (G,\cdot,e)</math> כאשר <math>\ \cdot \co G \times G \rightarrow G</math> פעולה בינארית ו-<math>\ e\in G</math>, המקיימת את האקסיומות הבאות:
* <math>\ \forall x,y,z: (x\cdot y)\cdot z = x \cdot (y \cdot z)</math> ("אסוציאטיביות"),
* <math>\ \forall x: x \cdot e = e \cdot x = x</math> (e הוא איבר יחידה),
* <math>\ \forall x \exists y : xy = yx = e</math>.
את איבר היחידה e מסמנים לפעמים גם בסימן המוכר 1, או <math>\ 1_G</math>. בהתאם לאופי הפעולה (אם היא דומה יותר לחיבור מספרים מאשר לכפל), גם 0 עשוי להיות איבר היחידה. בכל מקרה זהותו של איבר היחידה צריכה להיות מובנת מההקשר.
כמו בחבורות למחצה, היחידה יחידה. כלומר, אין איבר של החבורה שעבורו מתקיימת האקסיומה השניה, פרט לאיבר היחידה עצמו.
[[קטגוריה:89214]]
