שינויים
/* סיווג נקודות חשודות */
==סיווג נקודות חשודות==
'''משפט.''' תהי f פונקציה הגזירה '''ברציפות''' n+1 פעמים בסביבת הנקודה a. עוד נניח כי
::<math>f'(a)=f''(a)=...=f^{(n)}(a)=0</math>
::<math>f^{(n+1)}(a)\neq 0</math>
אזי:
*אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום מקומי]]'''
*אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימום מקומי]]'''
*אם n אי זוגי אזי a [[נקודת פיתול]]
'''הוכחה.'''
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:
::<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
אבל לפי ההנחה כי n הנגזרות הראשונות מתאפסת ב-a, מתקיים
::<math>f(x)-f(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
לכן, אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השנייה קיימת סביבה של a בה <math>f^{(n+1)}>0</math> ולכן לכל x בסביבה זו מתקיים:
::<math>f(x)-f(a)\geq 0</math>
שכן <math>(x-a)^{(n+1)}\geq 0</math> תמיד עבור n+1 זוגי.
כלומר אם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי x הינה '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום]]'''
באופן דומה, אם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math> אזי x הינה '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימום]]'''
אם n+1 אי זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.
לכן באופן
