שינויים
יצירת דף עם התוכן "*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]] == הרצאות 3+4 (11+13/3/12) == <big><big>נוס..."
*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]
== הרצאות 3+4 (11+13/3/12) ==
<big><big>נוסחה שהופיעה בשיעור:</big></big>
את האינטגרל מהסוג <math>I_n=\int \frac {dx}{(x^2+a^2)^n}</math> עבור <math>a>0,n \in \mathbb{N}</math> מחשבים בעזרת נוסחת הנסיגה הבאה:
<math>I_{n+1}=\frac 1 {2na^2} \cdot \frac x {(x^2+a^2)^2}+\frac {2n-1}{2na^2}I_n</math> כך ש-<math>I_1=\frac 1 a \arctan(\frac x a )+C</math>
<big><big>אינטגרציה של פונקציה רציונלית:</big></big>
<math>\int \frac{p(x)}{(q(x)}dx</math>, <math>q,p</math> פולינומים.
יש רק שני סוגים של שברים חלקיים:
(א) <math>\frac {A}{(x-x_0)^n}</math> עבור <math>A,x_0 \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math>
(ב) <math>\frac {Ax+B}{(ax^2+bx+c)^n}</math> עבור <math>A,B,a,b,c \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math> ולמכנה שאין לו שורשים ממשיים: <math>b^2-4ac<0</math>
השיטה שלנו מתבססת על שני משפטים מאלגברה.
<u>משפט 1:</u> יהי <math>p(x)</math> פולינום ממשי. אז ניתן לפרק את <math>p</math> לקבוע כפול מספר איברים לינאריים <math>x-x_0</math>, ומספר איברים ריבועיים מהסוג <math>x^2+bx+c</math> כך ש-<math>b^2-4c<0</math> וזהו הפירוק המושלם של <math>p(x)</math>.
<u>משפט 2:</u> תהי <math> \frac{p(x)}{(q(x)}</math> פונקציה רציונלית כך ש-<math>\deg p<\deg q</math>. אז אפשר לפרק את <math>\frac p q</math> לסכום של שברים חלקיים.
<u>בפועל:</u>
כדי לפרק את <math>\frac {p(x)}{q(x)}</math> לסכום שברים חלקיים: תחילה מפרקים את <math>q(x)</math> בצורה מושלמת עפ"י משפט 1, אז משווים את <math>\frac {p(x)}{q(x)}</math> לסכום של שברים חלקיים כללי ביותר שעשוי להביא לידי המכנה <math>q(x)</math> (זאת אומרת, המכנה הנשותף שלהם=<math>q(x)</math>).
רושמים את השברים החלקיים עם מקדמים בלתי ידועים ואז קובעים את המקדמים האלה. לבסוף מחשבים <math>\int \frac{p(x)}{(q(x)}dx</math> ע"י סכום אינטגרלים של השברים החלקיים שהם אינטגרלים קלים.
למידע נוסף ניתן לקבל [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|בקישור הבא]].
<big><big>אינטגרציה של פונקציות רציונליות של <math>\sin x,\cos x</math>:</big></big>
קיימת "הצבה אוניברסלית" שניתן בעזרתה להביא אינטגרל כזה לאינטגרל של פו' רציולנית רגילה שפתירה ע"י שברים חלקיים.
<u>ההצבה היא:</u> <math>t=\tan \frac x 2</math>
לכן <math>x=2\arctan(t)</math>, לכן יוצא לפי גזירה ש- <math>dx=\frac 2 {1+t^2}dt</math>. נשתמש בזהות חשובה: <math>1+t^2=1+\tan ^2 \frac x 2=\frac 1 {\cos ^2 \frac x 2}</math> לכן: <math>\frac 1 {1+t^2}=\cos ^2 \frac x 2=\frac {1+\cos x} 2</math> (לפי זהות לזוית כפולה)
לאחר העברת אגפים יוצא ש- <math>cos x = \frac {1-t^2}{1+t^2}</math>.
<math>\sin \frac x 2 = \cos \frac x 2 \cdot \tan \frac x 2=\sqrt \frac 1 {1+t^2} \cdot t</math>
נשתמש כעת בזהות לזוית כפולה של <math>\sin</math> ונציב את הערכים שמצאנו כבר- <math>\sin x = 2\sin \frac x 2 \cos \frac x 2 = 2\cdot \sqrt \frac 1 {1+t^2} \cdot t \cdot \sqrt \frac 1 {1+t^2}</math>
לכן יוצא ש- <math>\sin x = \frac {2t} {1+t^2}</math>
לבסוף נמצא את <math>\tan x</math>: <math>\tan x = \frac \sin x \cos x = \frac {2t}{1-t^2}</math>
<big><big>כללים נוספים:</big></big>
<u>אם נתון:</u> <math>\int R(\cos x, \sin x)dx</math> (במילים אחרות-פו' רציונלית <math>R</math> המורכבת מ<math>\sin x, \cos x</math> בלבד):
(א) אם <math>R(-\cos x, \sin x)=-R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\sin x</math>.
(ב) אם <math>R(\cos x, -\sin x)=-R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\cos x</math>.
(ג) אם <math>R(-\cos x, -\sin x)=R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\tan x</math>.
== הרצאות 3+4 (11+13/3/12) ==
<big><big>נוסחה שהופיעה בשיעור:</big></big>
את האינטגרל מהסוג <math>I_n=\int \frac {dx}{(x^2+a^2)^n}</math> עבור <math>a>0,n \in \mathbb{N}</math> מחשבים בעזרת נוסחת הנסיגה הבאה:
<math>I_{n+1}=\frac 1 {2na^2} \cdot \frac x {(x^2+a^2)^2}+\frac {2n-1}{2na^2}I_n</math> כך ש-<math>I_1=\frac 1 a \arctan(\frac x a )+C</math>
<big><big>אינטגרציה של פונקציה רציונלית:</big></big>
<math>\int \frac{p(x)}{(q(x)}dx</math>, <math>q,p</math> פולינומים.
יש רק שני סוגים של שברים חלקיים:
(א) <math>\frac {A}{(x-x_0)^n}</math> עבור <math>A,x_0 \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math>
(ב) <math>\frac {Ax+B}{(ax^2+bx+c)^n}</math> עבור <math>A,B,a,b,c \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math> ולמכנה שאין לו שורשים ממשיים: <math>b^2-4ac<0</math>
השיטה שלנו מתבססת על שני משפטים מאלגברה.
<u>משפט 1:</u> יהי <math>p(x)</math> פולינום ממשי. אז ניתן לפרק את <math>p</math> לקבוע כפול מספר איברים לינאריים <math>x-x_0</math>, ומספר איברים ריבועיים מהסוג <math>x^2+bx+c</math> כך ש-<math>b^2-4c<0</math> וזהו הפירוק המושלם של <math>p(x)</math>.
<u>משפט 2:</u> תהי <math> \frac{p(x)}{(q(x)}</math> פונקציה רציונלית כך ש-<math>\deg p<\deg q</math>. אז אפשר לפרק את <math>\frac p q</math> לסכום של שברים חלקיים.
<u>בפועל:</u>
כדי לפרק את <math>\frac {p(x)}{q(x)}</math> לסכום שברים חלקיים: תחילה מפרקים את <math>q(x)</math> בצורה מושלמת עפ"י משפט 1, אז משווים את <math>\frac {p(x)}{q(x)}</math> לסכום של שברים חלקיים כללי ביותר שעשוי להביא לידי המכנה <math>q(x)</math> (זאת אומרת, המכנה הנשותף שלהם=<math>q(x)</math>).
רושמים את השברים החלקיים עם מקדמים בלתי ידועים ואז קובעים את המקדמים האלה. לבסוף מחשבים <math>\int \frac{p(x)}{(q(x)}dx</math> ע"י סכום אינטגרלים של השברים החלקיים שהם אינטגרלים קלים.
למידע נוסף ניתן לקבל [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|בקישור הבא]].
<big><big>אינטגרציה של פונקציות רציונליות של <math>\sin x,\cos x</math>:</big></big>
קיימת "הצבה אוניברסלית" שניתן בעזרתה להביא אינטגרל כזה לאינטגרל של פו' רציולנית רגילה שפתירה ע"י שברים חלקיים.
<u>ההצבה היא:</u> <math>t=\tan \frac x 2</math>
לכן <math>x=2\arctan(t)</math>, לכן יוצא לפי גזירה ש- <math>dx=\frac 2 {1+t^2}dt</math>. נשתמש בזהות חשובה: <math>1+t^2=1+\tan ^2 \frac x 2=\frac 1 {\cos ^2 \frac x 2}</math> לכן: <math>\frac 1 {1+t^2}=\cos ^2 \frac x 2=\frac {1+\cos x} 2</math> (לפי זהות לזוית כפולה)
לאחר העברת אגפים יוצא ש- <math>cos x = \frac {1-t^2}{1+t^2}</math>.
<math>\sin \frac x 2 = \cos \frac x 2 \cdot \tan \frac x 2=\sqrt \frac 1 {1+t^2} \cdot t</math>
נשתמש כעת בזהות לזוית כפולה של <math>\sin</math> ונציב את הערכים שמצאנו כבר- <math>\sin x = 2\sin \frac x 2 \cos \frac x 2 = 2\cdot \sqrt \frac 1 {1+t^2} \cdot t \cdot \sqrt \frac 1 {1+t^2}</math>
לכן יוצא ש- <math>\sin x = \frac {2t} {1+t^2}</math>
לבסוף נמצא את <math>\tan x</math>: <math>\tan x = \frac \sin x \cos x = \frac {2t}{1-t^2}</math>
<big><big>כללים נוספים:</big></big>
<u>אם נתון:</u> <math>\int R(\cos x, \sin x)dx</math> (במילים אחרות-פו' רציונלית <math>R</math> המורכבת מ<math>\sin x, \cos x</math> בלבד):
(א) אם <math>R(-\cos x, \sin x)=-R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\sin x</math>.
(ב) אם <math>R(\cos x, -\sin x)=-R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\cos x</math>.
(ג) אם <math>R(-\cos x, -\sin x)=R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\tan x</math>.
