שינויים
יצירת דף עם התוכן "michael.michaeli (@) gmail.com ---- ''הערה:'' השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מר..."
michael.michaeli (@) gmail.com
----
''הערה:'' השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון <math>F(-\infty,\infty),C^n(-\infty,\infty)</math>), מכפלה פנימית (כגון <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(x)g(x)\mathrm dx</math> ב־<math>C[a,b]</math>), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz)‏ (<math>|\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle|\le\|\mathbf u\|\cdot\|\mathbf v\|</math>), מרחבי הסדרות <math>\ell_p=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb C^\infty:\ \sum_{n=1}^\infty|x_n|^p<\infty\right\}</math> עם <math>\langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_i \overline{y_i}</math>, אורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים החדשים והקשים לזכירה:
== אי־שיוויון הולדר (Holder) ==
אם <math>x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q</math> כאשר <math>\frac1p+\frac1q=1</math> (כלומר, <math>\ell_p,\ell_q</math> צמודים) אזי <math>\sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q</math>.
=== הוכחה ===
נעזר באי־שיוויון יונג (Jung):‏ <math>\forall\alpha,\beta>0:\ \forall p,q>1\ \and\ \frac1p+\frac1q=1:\ \alpha\cdot\beta\le\frac{\alpha^p}p+\frac{\beta^q}q</math>. נבחר עבור <math>n</math> כרצוננו <math>\alpha=\frac{|x_n|}{\|x\|_p},\beta=\frac{|y_n|}{\|y\|_q}</math>, ונסכום לכל <math>n</math>: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{|x_n|}{\|x\|_p}\frac{|y_n|}{\|y\|_q}\le\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{|x_n|^p}{\|x\|_p^p\cdot p}+\frac{|y_n|^q}{\|y\|_q^q\cdot q}\right)=\frac1p+\frac1q=1</math>. נכפול ב־<math>\|x\|_p\|y\|_q</math>
== תהליך גרם־שמידט (Gram-Schmidt) ==
התהליך מאשר להפוך כל קבוצה <math>B=\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}</math> בת״ל לקבוצה <math>\tilde B=\{\tilde\mathbf v_1,\dots,\tilde\mathbf v_n\}</math> אורתונורמלית כך ש־<math>\mbox{span}(B)=\mbox{span}(\tilde B)</math>.
'''טענת עזר:''' יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית, ותהי <math>S=\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> קבוצה אורתונורמלית ב־<math>V</math>. אם <math>\mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k</math> אזי <math>\forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle</math>. '''הוכחה:''' <math>\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\langle\mathbf e_i,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{i,k}=a_i</math>
אם נגדיר <math>W=\mbox{span}(S)</math> תת־מרחב של <math>V</math> ואם <math>\mathbf u\in V\setminus W</math> אזי ברור ש־<math>\mathbf u\ne\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k</math>. במקרה זה קיים איבר אחר <math>\tilde\mathbf u</math> שהוא הקירוב הטוב ביותר ל־<math>\mathbf u</math> ב־<math>W</math> (כלומר, <math>\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|</math> מינימלי), ומתקיים <math>\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k</math>. '''דוגמה:''' נתבונן בממ״פ של פונקציות רציפות בקטע <math>[-1,1]</math>. נגדיר מ״פ באופן הבא: <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx</math>. נמצא קירוב ל־<math>f(x)=x^3</math> בתת־מרחב הנפרש ע״י המערכת האורתונורמלית <math>S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}=\left\{\frac1\sqrt2,\sqrt\frac32 x\right\}</math>. מתקיים:{{left|<math>\begin{align}&\langle f,\mathbf e_1\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{x^3}\sqrt2\mathrm dx=0\\&\langle f,\mathbf e_2\rangle=\int\limits_{-1}^1\sqrt\frac32x^3\mathrm dx=\frac\sqrt65\\\implies&\tilde f(x)=\frac\sqrt65\sqrt\frac32x=\frac35x\end{align}</math>}}
ולפיכך <math>\left\|x^3-\frac35x\right\|</math> מינימלי.
----
''הערה:'' השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון <math>F(-\infty,\infty),C^n(-\infty,\infty)</math>), מכפלה פנימית (כגון <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(x)g(x)\mathrm dx</math> ב־<math>C[a,b]</math>), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz)‏ (<math>|\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle|\le\|\mathbf u\|\cdot\|\mathbf v\|</math>), מרחבי הסדרות <math>\ell_p=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb C^\infty:\ \sum_{n=1}^\infty|x_n|^p<\infty\right\}</math> עם <math>\langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_i \overline{y_i}</math>, אורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים החדשים והקשים לזכירה:
== אי־שיוויון הולדר (Holder) ==
אם <math>x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q</math> כאשר <math>\frac1p+\frac1q=1</math> (כלומר, <math>\ell_p,\ell_q</math> צמודים) אזי <math>\sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q</math>.
=== הוכחה ===
נעזר באי־שיוויון יונג (Jung):‏ <math>\forall\alpha,\beta>0:\ \forall p,q>1\ \and\ \frac1p+\frac1q=1:\ \alpha\cdot\beta\le\frac{\alpha^p}p+\frac{\beta^q}q</math>. נבחר עבור <math>n</math> כרצוננו <math>\alpha=\frac{|x_n|}{\|x\|_p},\beta=\frac{|y_n|}{\|y\|_q}</math>, ונסכום לכל <math>n</math>: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{|x_n|}{\|x\|_p}\frac{|y_n|}{\|y\|_q}\le\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{|x_n|^p}{\|x\|_p^p\cdot p}+\frac{|y_n|^q}{\|y\|_q^q\cdot q}\right)=\frac1p+\frac1q=1</math>. נכפול ב־<math>\|x\|_p\|y\|_q</math>
== תהליך גרם־שמידט (Gram-Schmidt) ==
התהליך מאשר להפוך כל קבוצה <math>B=\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}</math> בת״ל לקבוצה <math>\tilde B=\{\tilde\mathbf v_1,\dots,\tilde\mathbf v_n\}</math> אורתונורמלית כך ש־<math>\mbox{span}(B)=\mbox{span}(\tilde B)</math>.
'''טענת עזר:''' יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית, ותהי <math>S=\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> קבוצה אורתונורמלית ב־<math>V</math>. אם <math>\mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k</math> אזי <math>\forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle</math>. '''הוכחה:''' <math>\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\langle\mathbf e_i,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{i,k}=a_i</math>
אם נגדיר <math>W=\mbox{span}(S)</math> תת־מרחב של <math>V</math> ואם <math>\mathbf u\in V\setminus W</math> אזי ברור ש־<math>\mathbf u\ne\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k</math>. במקרה זה קיים איבר אחר <math>\tilde\mathbf u</math> שהוא הקירוב הטוב ביותר ל־<math>\mathbf u</math> ב־<math>W</math> (כלומר, <math>\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|</math> מינימלי), ומתקיים <math>\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k</math>. '''דוגמה:''' נתבונן בממ״פ של פונקציות רציפות בקטע <math>[-1,1]</math>. נגדיר מ״פ באופן הבא: <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx</math>. נמצא קירוב ל־<math>f(x)=x^3</math> בתת־מרחב הנפרש ע״י המערכת האורתונורמלית <math>S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}=\left\{\frac1\sqrt2,\sqrt\frac32 x\right\}</math>. מתקיים:{{left|<math>\begin{align}&\langle f,\mathbf e_1\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{x^3}\sqrt2\mathrm dx=0\\&\langle f,\mathbf e_2\rangle=\int\limits_{-1}^1\sqrt\frac32x^3\mathrm dx=\frac\sqrt65\\\implies&\tilde f(x)=\frac\sqrt65\sqrt\frac32x=\frac35x\end{align}</math>}}
ולפיכך <math>\left\|x^3-\frac35x\right\|</math> מינימלי.
