שינויים
יצירת דף עם התוכן "מרצה: ראובן כהן, reuven (@) math.biu.ac.il u.math.biu.ac.il/~reuven/ode.pdf 050-5217779 ----- = מבוא = משוואה דיפרנציאלית הי..."
מרצה: ראובן כהן, reuven (@) math.biu.ac.il
u.math.biu.ac.il/~reuven/ode.pdf
050-5217779
-----
= מבוא =
משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי <math>x</math> לבין משתנה תלוי <math>y</math>. בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה.
הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא <math>F\Big(x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)\Big)=0</math> (<math>F</math> פונקציה ב־<math>n+2</math> משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא <math>F\left(x,y,z(x,y),\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\right)=0</math>.
'''הגדרות:''' ''הסדר של מד״ר'' הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. ''המעלה'' היא החזקה של הנגזרת הגבוהה ביותר. דוגמאות:
* <math>2xy'-3y=0</math>: הסדר הוא 1 והמעלה – 1.
* <math>2x^3y\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2-(1+x^3)=0</math>: הסדר הוא 1 והמעלה – 2.
* <math>2y''+2x^2y=0</math>: הסדר הוא 2 והמעלה – 1.
* <math>\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}+x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-x^3\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^3=0</math>: הסדר הוא 3 והמעלה – 1.
קיימות מד״ר שאנו כבר יודעים לפתור. למשל:
* אם <math>y'={\mathrm e}^{2x}</math> אזי <math>y=\int {\mathrm e}^{2x}\mathrm dx=\frac{{\mathrm e}^{2x}}2+c</math>.
* <math>\begin{align}&(y')^2+xy'+3=0\\\implies&y'=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\\\implies&y=\int\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\mathrm dx=\dots\end{align}</math>
נשים לב שיש אינסוף פתרונות.
לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן <math>y'={\mathrm e}^{-x^2}</math> נקבל <math>y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx</math>, והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציה <math>\mbox{erf}</math> שעבורה <math>y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c</math>.
'''הגדרה:''' ''צורה נורמלית'' של מד״ר היא <math>y^{(n)}=f(x,y,y',\dots,y^{(n-1})</math> כאשר <math>n</math> סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, <math>y={\mathrm e}^{y'}+y'-x=0</math>.
תהי <math>F(x,z_0,z_1,\dots,z_n)</math> פונקציה לינארית במשתנים <math>z_0,\dots,z_n</math>. אזי המד״ר המתאימה תקרא לינארית. לדוגמה: <math>\sin(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0</math>. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: <math>y^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x)</math>. אם <math>f(x)\equiv0</math> אזי המד״ר נקראת "לינארית הומוגנית". דוגמה: <math>(y')^2+x^2+2=0</math>.
'''הגדרה:''' ''פתרון של מד״ר'' הוא פונקציה <math>\varphi(x)</math> כך שבהצבת <math>y=\varphi(x)</math> המד״ר הופכת לזהות <math>F(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x))\equiv0</math>. דוגמה: <math>y=\varphi(x)=x^2</math> היא פתרון של <math>xy'-2y=0</math> מפני שבהצבה <math>y=\varphi(x)</math> נקבל <math>x(2x)-2x^2=0</math>, מה שמתקיים תמיד.
'''הגדרה:''' ''פתרון כללי של מד״ר'' הוא משפחת פונקציות <math>y=\varphi(x,c_1,\dots,c_n)</math> התלויות ב־<math>n</math> פרמטרים וגזירות <math>n</math> פעמים לפי x. דוגמה:{{left|<math>\begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align}</math>}}
== מד״ר מסדר ראשון ==
'''הגדרה:''' ''מד״ר מסדר ראשון'' היא מד״ר מהצורה <math>F(x,y,y')=0</math>. באופן שקול, הצורה הנורמלית שלה היא <math>y'=f(x,y)</math>. דוגמאות:{{left|
* <math>xy'=x+y</math>
* <math>\begin{align}&y'=\frac yx\end{align}</math>
<math>xy'=x+y, y'=\frac yx,y'+x^2y=0</math>. לגבי המשוואה האחרונה: <math>y'\mathrm dx+x^2y\mathrm dx=0</math> ולכן <math>\mathrm dy+x^2y\mathrm dx=0</math>. זו הצורה הדיפרנציאלית. לגבי המשוואה השנייה: <math>\mathrm dy=\frac yx\mathrm dx</math>.
}}
=== בעיית קושי ===
למצוא פתרון למד״ר <math>y'=f(x,y)</math> המקיים תנאי התחלה <math>y|_{x=x_0}=\varphi(x_0)=y_0</math>.
'''פתרון רגולרי וסינגולרי:''' בהנתן פתרון כללי של מד״ר <math>y=\varphi(x,c)</math>, פתרון המתקבל ע״י הצבת <math>c=c_0</math> מסוים נקרא פתרון פרטי, רגולרי או רגיל. פתרון שאינו מתקבל מ־c מסוים נקרא פתרון סינגולרי או מיוחד. '''דוגמה:''' <math>(y')^2=4y</math>. הפתרון הכללי הוא <math>y=(x+c)^2</math> לכל c. לדוגמה <math>y=(x+3)^2</math> הוא פתרון רגולרי, ו־<math>y=0</math> פתרון סינגולרי.
=== משפט ===
נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט הקיום והיחידות. את הגרסה המדוייקת ואת ההוכחה נציג בשיעור הבא. בהינתן מד״ר בצורה נורמלית <math>y'=f(x,y)</math>. אם הפונקציה <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ במשנתנה <math>y</math> בסביבה מסויימת של הנקודה <math>(x_0,y_0)</math> אזי קיימת סביבה שלה <math>D</math> שבה המד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־<math>(x_0,y_0)</math> (כלומר מקיים <math>y(x_0)=y_0</math>).
'''תזכורת:''' <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ אם <math>\exists k:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_0|</math>.
=== מד״ר עם משתנים מופרדים ===
'''דוגמה:''' <math>2xy+y'=0</math>. אם <math>y\ne0</math> אז <math>\frac{y'}y=-2x</math>. מכאן ש־<math>\int\frac{\mathrm dy}y=-\int2x\mathrm dx</math> ולפיכך <math>\ln|y|=-x^2+c_1</math>. נסמן <math>c_2={\mathrm e}^{c_1}</math> ונקבל <math>|y|=c_2{\mathrm e}^{-x^2}, c_2>0</math> ולפיכך (עבור <math>c=c_2\sgn(y)</math>) <math>y=c{\mathrm e}^{-x^2}, c\ne0</math>. נשים לב שבפתרון התעלמנו מהמקרה <math>y=0</math> ולבסוף הפתרון הסופי הוא <math>y=c{\mathrm e}^{-x^2}, c\in\mathbb R</math>. מקרה כללי: אם <math>y'=f(x)g(y)</math> אזי <math>\int\frac{\mathrm dy}{g(y)}=\int f(x)\mathrm dx</math>.
הצורה הכללית של מד״ר עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0</math>. אם <math>N_1(y_0)=0</math> עבור <math>y_0</math> כלשהו אזי <math>y(x)=y_0</math> פותר את המד״ר. אם <math>M_2(x_0)=0</math> עבור <math>x_0</math> כלשהו אזי <math>x(y)=x_0</math> פתרון (במובן כלשהו). אם <math>N_1(y)M_2(x)\ne0</math> נחלק בהם ונקבל <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=c</math>. דוגמה: <math>x^2y^2y'=y-1</math>. בכתיב דיפרנציאלי <math>x^2y^2\mathrm dy+(1-y)\mathrm dx=0</math> פתרונות: <math>y=1\ \or\ x=0</math> או <math>\frac{\mathrm dx}{x^2}+\frac{y^2}{1-y}\mathrm dy=0</math>. לכן <math>\int\frac{(y-1)(y+1)+1}{y-1}\mathrm dy=\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|+c=-\frac1x+c</math>. לא נצליח לחלץ את <math>y</math>, אבל נוכל לחלץ את <math>x</math>: <math>x=\frac1{c-y^2-y-\ln|y-1|}</math>.
=== מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים ===
<math>y'=f(ax+by)</math>. נגדיר <math>z=ax+by</math>, לכן <math>z'=a+by'</math> כלומר <math>f(z)=y'=\frac{z'-a}b</math> ולכן <math>\int\frac{z'}{bf(z)+a}\mathrm dx=x+c</math>. נסמן את אגף שמאל כ־<math>g(z)</math> ולכן <math>g(ax+by)=x+C</math> ואם <math>g</math> הפיכה אזי <math>y=\frac{g^{-1}(x+c)-ax}b</math>.
'''דוגמה:''' <math>y'=\frac{1-x+y}{x-y}</math>. אזי עבור <math>z=x-y</math> נקבל <math>z'=\frac{2z-1}z</math>. לפיכך <math>\int\frac{zz'}{2z-1}\mathrm dx=\int\left(\frac12+\frac12\frac1{2z-1}\right)\mathrm dx=1</math>. מכאן ש־<math>\frac z2+\frac14\ln\left|z-\frac12\right|=x+c</math> ולבסוף: <math>\frac{x-y}2+\frac14\ln\left|x-y-\frac12\right|=x+c</math>.
=== מד״ר הומוגנית ===
פונקציה <math>f(x,y)</math> נקראת הומוגנית מסדר <math>k</math> אם לכל <math>\lambda>0</math> מתקיים <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)</math>.
דוגמאות:
* <math>f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}</math> הומוגנית מסדר 0.
* <math>f(x,y)=x^2+3y^2+8xy</math> הומוגנית מסדר 2.
=== משפט ===
פונקציה <math>f(x,y)</math> ניתנת לכתיבה בצורה <math>f(x,y)=\varphi\left(\frac yx\right)</math> אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.
==== הוכחה ====
<math>\Longleftarrow</math>: טריוויאלי.
<math>\implies</math>: נתון <math>f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)</math>. נבחר <math>\lambda=\frac1x</math> (כאשר <math>x>0</math>) ולכן <math>f(\lambda x,\lambda y)=\underbrace{f\left(1,\frac yx\right)}_{\varphi\left(\frac yx\right)}=f(x,y)</math>. במקרה <math>x<0</math> נציב <math>\lambda=-\frac1x</math>.
'''הגדרה:''' אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה <math>y'=g\left(\frac yx\right)</math> אזי היא נקראת הומוגנית.
'''דוגמה:''' <math>z(x)=\frac yx</math> לכן <math>y=zx\implies g(z)=y'=z'x+z</math>. אזי <math>\int\frac{\mathrm dz}{g(z)-z}=\int\frac{\mathrm dx}x</math> ולפיכך, עבור <math>h(z)</math> המוגדרת כאגף שמאל, <math>h\left(\frac yx\right)=\ln|x|+c</math> ואז <math>y=xh^{-1}(\ln|x|+c)</math> אם <math>h</math> הפיכה.
'''דוגמה:''' <math>xy'=x+y</math>. אם <math>x\ne0</math> נקבל <math>y'=1+\frac yx=1+z</math> ואז <math>z'x=1</math>. לבסוף <math>y=x\ln|x|+xc_1</math>. נסמן <math>c={\mathrm e}^{c_1}</math> ולפיכך <math>y=x\ln(cx)</math>. נתונים תנאי ההתחלה <math>y(3)=8</math> אזי <math>c=\frac13 {\mathrm e}^{8/3}</math>.
u.math.biu.ac.il/~reuven/ode.pdf
050-5217779
-----
= מבוא =
משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי <math>x</math> לבין משתנה תלוי <math>y</math>. בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה.
הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא <math>F\Big(x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)\Big)=0</math> (<math>F</math> פונקציה ב־<math>n+2</math> משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא <math>F\left(x,y,z(x,y),\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\right)=0</math>.
'''הגדרות:''' ''הסדר של מד״ר'' הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. ''המעלה'' היא החזקה של הנגזרת הגבוהה ביותר. דוגמאות:
* <math>2xy'-3y=0</math>: הסדר הוא 1 והמעלה – 1.
* <math>2x^3y\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2-(1+x^3)=0</math>: הסדר הוא 1 והמעלה – 2.
* <math>2y''+2x^2y=0</math>: הסדר הוא 2 והמעלה – 1.
* <math>\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}+x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-x^3\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^3=0</math>: הסדר הוא 3 והמעלה – 1.
קיימות מד״ר שאנו כבר יודעים לפתור. למשל:
* אם <math>y'={\mathrm e}^{2x}</math> אזי <math>y=\int {\mathrm e}^{2x}\mathrm dx=\frac{{\mathrm e}^{2x}}2+c</math>.
* <math>\begin{align}&(y')^2+xy'+3=0\\\implies&y'=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\\\implies&y=\int\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\mathrm dx=\dots\end{align}</math>
נשים לב שיש אינסוף פתרונות.
לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן <math>y'={\mathrm e}^{-x^2}</math> נקבל <math>y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx</math>, והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציה <math>\mbox{erf}</math> שעבורה <math>y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c</math>.
'''הגדרה:''' ''צורה נורמלית'' של מד״ר היא <math>y^{(n)}=f(x,y,y',\dots,y^{(n-1})</math> כאשר <math>n</math> סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, <math>y={\mathrm e}^{y'}+y'-x=0</math>.
תהי <math>F(x,z_0,z_1,\dots,z_n)</math> פונקציה לינארית במשתנים <math>z_0,\dots,z_n</math>. אזי המד״ר המתאימה תקרא לינארית. לדוגמה: <math>\sin(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0</math>. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: <math>y^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x)</math>. אם <math>f(x)\equiv0</math> אזי המד״ר נקראת "לינארית הומוגנית". דוגמה: <math>(y')^2+x^2+2=0</math>.
'''הגדרה:''' ''פתרון של מד״ר'' הוא פונקציה <math>\varphi(x)</math> כך שבהצבת <math>y=\varphi(x)</math> המד״ר הופכת לזהות <math>F(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x))\equiv0</math>. דוגמה: <math>y=\varphi(x)=x^2</math> היא פתרון של <math>xy'-2y=0</math> מפני שבהצבה <math>y=\varphi(x)</math> נקבל <math>x(2x)-2x^2=0</math>, מה שמתקיים תמיד.
'''הגדרה:''' ''פתרון כללי של מד״ר'' הוא משפחת פונקציות <math>y=\varphi(x,c_1,\dots,c_n)</math> התלויות ב־<math>n</math> פרמטרים וגזירות <math>n</math> פעמים לפי x. דוגמה:{{left|<math>\begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align}</math>}}
== מד״ר מסדר ראשון ==
'''הגדרה:''' ''מד״ר מסדר ראשון'' היא מד״ר מהצורה <math>F(x,y,y')=0</math>. באופן שקול, הצורה הנורמלית שלה היא <math>y'=f(x,y)</math>. דוגמאות:{{left|
* <math>xy'=x+y</math>
* <math>\begin{align}&y'=\frac yx\end{align}</math>
<math>xy'=x+y, y'=\frac yx,y'+x^2y=0</math>. לגבי המשוואה האחרונה: <math>y'\mathrm dx+x^2y\mathrm dx=0</math> ולכן <math>\mathrm dy+x^2y\mathrm dx=0</math>. זו הצורה הדיפרנציאלית. לגבי המשוואה השנייה: <math>\mathrm dy=\frac yx\mathrm dx</math>.
}}
=== בעיית קושי ===
למצוא פתרון למד״ר <math>y'=f(x,y)</math> המקיים תנאי התחלה <math>y|_{x=x_0}=\varphi(x_0)=y_0</math>.
'''פתרון רגולרי וסינגולרי:''' בהנתן פתרון כללי של מד״ר <math>y=\varphi(x,c)</math>, פתרון המתקבל ע״י הצבת <math>c=c_0</math> מסוים נקרא פתרון פרטי, רגולרי או רגיל. פתרון שאינו מתקבל מ־c מסוים נקרא פתרון סינגולרי או מיוחד. '''דוגמה:''' <math>(y')^2=4y</math>. הפתרון הכללי הוא <math>y=(x+c)^2</math> לכל c. לדוגמה <math>y=(x+3)^2</math> הוא פתרון רגולרי, ו־<math>y=0</math> פתרון סינגולרי.
=== משפט ===
נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט הקיום והיחידות. את הגרסה המדוייקת ואת ההוכחה נציג בשיעור הבא. בהינתן מד״ר בצורה נורמלית <math>y'=f(x,y)</math>. אם הפונקציה <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ במשנתנה <math>y</math> בסביבה מסויימת של הנקודה <math>(x_0,y_0)</math> אזי קיימת סביבה שלה <math>D</math> שבה המד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־<math>(x_0,y_0)</math> (כלומר מקיים <math>y(x_0)=y_0</math>).
'''תזכורת:''' <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ אם <math>\exists k:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_0|</math>.
=== מד״ר עם משתנים מופרדים ===
'''דוגמה:''' <math>2xy+y'=0</math>. אם <math>y\ne0</math> אז <math>\frac{y'}y=-2x</math>. מכאן ש־<math>\int\frac{\mathrm dy}y=-\int2x\mathrm dx</math> ולפיכך <math>\ln|y|=-x^2+c_1</math>. נסמן <math>c_2={\mathrm e}^{c_1}</math> ונקבל <math>|y|=c_2{\mathrm e}^{-x^2}, c_2>0</math> ולפיכך (עבור <math>c=c_2\sgn(y)</math>) <math>y=c{\mathrm e}^{-x^2}, c\ne0</math>. נשים לב שבפתרון התעלמנו מהמקרה <math>y=0</math> ולבסוף הפתרון הסופי הוא <math>y=c{\mathrm e}^{-x^2}, c\in\mathbb R</math>. מקרה כללי: אם <math>y'=f(x)g(y)</math> אזי <math>\int\frac{\mathrm dy}{g(y)}=\int f(x)\mathrm dx</math>.
הצורה הכללית של מד״ר עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0</math>. אם <math>N_1(y_0)=0</math> עבור <math>y_0</math> כלשהו אזי <math>y(x)=y_0</math> פותר את המד״ר. אם <math>M_2(x_0)=0</math> עבור <math>x_0</math> כלשהו אזי <math>x(y)=x_0</math> פתרון (במובן כלשהו). אם <math>N_1(y)M_2(x)\ne0</math> נחלק בהם ונקבל <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=c</math>. דוגמה: <math>x^2y^2y'=y-1</math>. בכתיב דיפרנציאלי <math>x^2y^2\mathrm dy+(1-y)\mathrm dx=0</math> פתרונות: <math>y=1\ \or\ x=0</math> או <math>\frac{\mathrm dx}{x^2}+\frac{y^2}{1-y}\mathrm dy=0</math>. לכן <math>\int\frac{(y-1)(y+1)+1}{y-1}\mathrm dy=\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|+c=-\frac1x+c</math>. לא נצליח לחלץ את <math>y</math>, אבל נוכל לחלץ את <math>x</math>: <math>x=\frac1{c-y^2-y-\ln|y-1|}</math>.
=== מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים ===
<math>y'=f(ax+by)</math>. נגדיר <math>z=ax+by</math>, לכן <math>z'=a+by'</math> כלומר <math>f(z)=y'=\frac{z'-a}b</math> ולכן <math>\int\frac{z'}{bf(z)+a}\mathrm dx=x+c</math>. נסמן את אגף שמאל כ־<math>g(z)</math> ולכן <math>g(ax+by)=x+C</math> ואם <math>g</math> הפיכה אזי <math>y=\frac{g^{-1}(x+c)-ax}b</math>.
'''דוגמה:''' <math>y'=\frac{1-x+y}{x-y}</math>. אזי עבור <math>z=x-y</math> נקבל <math>z'=\frac{2z-1}z</math>. לפיכך <math>\int\frac{zz'}{2z-1}\mathrm dx=\int\left(\frac12+\frac12\frac1{2z-1}\right)\mathrm dx=1</math>. מכאן ש־<math>\frac z2+\frac14\ln\left|z-\frac12\right|=x+c</math> ולבסוף: <math>\frac{x-y}2+\frac14\ln\left|x-y-\frac12\right|=x+c</math>.
=== מד״ר הומוגנית ===
פונקציה <math>f(x,y)</math> נקראת הומוגנית מסדר <math>k</math> אם לכל <math>\lambda>0</math> מתקיים <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)</math>.
דוגמאות:
* <math>f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}</math> הומוגנית מסדר 0.
* <math>f(x,y)=x^2+3y^2+8xy</math> הומוגנית מסדר 2.
=== משפט ===
פונקציה <math>f(x,y)</math> ניתנת לכתיבה בצורה <math>f(x,y)=\varphi\left(\frac yx\right)</math> אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.
==== הוכחה ====
<math>\Longleftarrow</math>: טריוויאלי.
<math>\implies</math>: נתון <math>f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)</math>. נבחר <math>\lambda=\frac1x</math> (כאשר <math>x>0</math>) ולכן <math>f(\lambda x,\lambda y)=\underbrace{f\left(1,\frac yx\right)}_{\varphi\left(\frac yx\right)}=f(x,y)</math>. במקרה <math>x<0</math> נציב <math>\lambda=-\frac1x</math>.
'''הגדרה:''' אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה <math>y'=g\left(\frac yx\right)</math> אזי היא נקראת הומוגנית.
'''דוגמה:''' <math>z(x)=\frac yx</math> לכן <math>y=zx\implies g(z)=y'=z'x+z</math>. אזי <math>\int\frac{\mathrm dz}{g(z)-z}=\int\frac{\mathrm dx}x</math> ולפיכך, עבור <math>h(z)</math> המוגדרת כאגף שמאל, <math>h\left(\frac yx\right)=\ln|x|+c</math> ואז <math>y=xh^{-1}(\ln|x|+c)</math> אם <math>h</math> הפיכה.
'''דוגמה:''' <math>xy'=x+y</math>. אם <math>x\ne0</math> נקבל <math>y'=1+\frac yx=1+z</math> ואז <math>z'x=1</math>. לבסוף <math>y=x\ln|x|+xc_1</math>. נסמן <math>c={\mathrm e}^{c_1}</math> ולפיכך <math>y=x\ln(cx)</math>. נתונים תנאי ההתחלה <math>y(3)=8</math> אזי <math>c=\frac13 {\mathrm e}^{8/3}</math>.
