שינויים
יצירת דף עם התוכן "== דוגמה == נניח שגודל החוב ממשכנתה בזמן מסוים <math>t</math> הוא <math>y(t)</math>. הריבית היא <math>R</math> ליח..."
== דוגמה ==
נניח שגודל החוב ממשכנתה בזמן מסוים <math>t</math> הוא <math>y(t)</math>. הריבית היא <math>R</math> ליחידת זמן וההחזר הוא <math>P</math> ליחידת זמן. אזי <math>y(t+\Delta t)=y(t)+Ry(t)\Delta t-P\Delta t</math>. אם נניח שהבנק מחשב את הריבית באופן רציף נקבל {{left|<math>\begin{align}&\lim_{\Delta t\to0}\frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}=y'(t)=Ry(t)-P\\\implies&\frac{y'}{y-\frac PR}=R\\\implies&\left|y-\frac PR\right|=c\mathrm e^{Rt}\\\implies&y=\frac PR+c\mathrm e^{Rt}\end{align}</math>}}נוסיף תנאי התחלה <math>y(0)=y_0</math>. לכן <math>c=y_0-\frac PR</math> ולבסוף <math>y=\frac PR+\left(y_0-\frac PR\right)\mathrm e^{Rt}</math>. אנו נסיים לשלם את המשכנתה כאשר <math>y=0</math>, כלומר כאשר <math>t=\frac{\ln\left(\frac PR\right)-\ln\left(\frac PR-y_0\right)}R</math>. {{משל}}
== מד״ר מסוג <math>y'=f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{ax+by+c}\right)</math> ==
כבר למדנו לפתור מד״ר מהצורה <math>y'=f(ax+by)</math>, והיום נלמד גם <math>y'=f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{ax+by+c}\right)</math>.
=== מקרה 1 ===
נניח ש־<math>\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a&b\end{vmatrix}\ne0</math>. נסמן <math>x=p+\alpha, y=q+\beta</math> ולכן <math>\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=a_1p+b_1q+(a_1\alpha+b_1\beta+c_1)\\ax+by+c=ap+bq+(a\alpha+b\beta+c)\end{cases}</math>. נדרוש שהמקדמים החופשיים יהיו 0 בשני המקרים ולכן <math>\begin{pmatrix}a_1&b_1\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}c_1\\c\end{pmatrix}</math>. נקבל <math>y'=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=f\left(\frac{a_1+b_1\frac qp}{a+b\frac qp}\right)</math>, וזו מד״ר מהצורה <math>y'=f\left(\frac yx\right)</math>, שאותה אנו יודעים לפתור.
==== דוגמה ====
נפתור <math>y'=\frac{2x+3y+4}{x+y+2}</math>. נציב <math>x,y</math> כנ״ל ולפיכך <math>\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{2p+3q}{p+q+\alpha+\beta+2}</math> עלינו לדרוש ש־<math>2\alpha+3\beta=-4\ \and\ \alpha+\beta=-2</math> ומכך נובע <math>y=q\ \and\ x=p-2</math>. נסמן <math>z=\frac pq</math> ואז{{left|<math>\begin{align}&p\frac{\mathrm dz}{\mathrm dp}+z=\frac{2+3z}{1+z}\\\implies&\int\frac{2-(1-z)}{2+2z-z^2}\mathrm dz=\int\frac{\mathrm dp}p\\\implies&\int\frac2{3-(1-z)^2}\mathrm dz-\frac12\ln|2-2z+z^2|=\ln|p|+c\\\implies&\frac23\arccot\left(\frac{1-z}\sqrt3\right)-\frac12\ln|2-2z+z^2|=\ln|p|+c\end{align}</math>}}עתה מציבים <math>z=\frac y{x+2}, p=x+2</math> וקיבלנו את הפתרון בצורה של פונקציה סתומה.
מקרה 2: נסמן <math>a_1=\lambda a, b_1=\lambda b</math> ואז <math>y'=f\left(\frac{\lambda(ax+by)+c_1}{(ax+by)+c}\right)</math>. נציב <math>z=ax+by</math> ואנו כבר יודעים לפתור זאת.
== מד״ר לינארית מסדר I ==
זו מד״ר מהצורה <math>y'+p(x)y=q(x)</math> כאשר <math>p,q</math> לאו דווקא לינאריות. היא תקרא הומוגנית אם <math>q(x)\equiv0</math>, ובמקרה זה נקבל:{{left|<math>\begin{align}&\int\frac{\mathrm dy}y=-\int p(x)\mathrm dx\\\implies&y=c\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\end{align}</math>}}במקרה הלא הומוגני נוכל להכפיל את אגפי המשוואה ב־<math>\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}</math> ונשים לב שמקבלים <math>\left(y\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}\right)'=q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}</math>. לכן <math>y'=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\cdot\int q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx</math>.
=== וריאצית הפרמטרים ===
נניח שהפתרון הוא <math>cy_b(x)</math> (במקרה ההומוגני) או <math>c(x)y_b(x)</math> (במקרה הלא הומוגני). נציב זאת במד״ר ונקבל <math>c(x)y_b'(x)+c'(x)y_b(x)+p(x)c(x)y_b(x)=q(x)</math> ולכן <math>c'(x)y_b(x)=q(x)</math>. נותר לפתור את המד״ר <math>c'(x)=\frac{q(x)}{y_b(x)}</math>
==== דוגמה ====
נתונה מד״ר <math>y'=\frac{x^2-y}x</math> עם תנאי התחלה <math>y(1)=5</math>. אזי <math>y'+\frac1xy=x</math> ולכן, מפני שזו מד״ר לינארית מסוג I,{{left|<math>\begin{align}y&=\mathrm e^{-\int\frac{\mathrm dx}x}\int x\mathrm e^{\int\frac{\mathrm dx}x}\\&=\mathrm e^{-\ln|x|}\int x|x|\mathrm dx\\&=\frac{c_1}{|x|}+\frac1x\int x^2\mathrm dx\\&=\frac{c_1}{|x|}+\frac{x^2}3\\&=\frac cx+\frac{x^2}3\end{align}</math>}}כאשר <math>c=\sgn(x)c_1</math>. נציב את תנאי ההתחלה: <math>5=\frac c1+\frac{1^2}3\implies c=\frac{14}3</math>, לכן <math>y=\frac{14}{3x}+\frac{x^2}3</math>.
== משוואות ברנולי ==
אלה מד״ר מהצורה <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1</math>. אם <math>n>0</math> אז <math>y(x)\equiv0</math> פתרון (רגולרי או סינגולרי). אם <math>n<0</math> אזי <math>y(x)\equiv0</math> אינו פתרון, לכן נוכל להתייחס למד״ר השקולה <math>\frac{y'}{y^n}+p(x)y^{1-n}=q(x)</math> ולהציב <math>z=y^{1-n}</math>. נקבל <math>z'=(1-n)y^{-n}y'</math> ואז <math>z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)</math>, שהיא מד״ר לינארית מסוג I. לפיכן <math>z=\mathrm e^{(n-1)\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\mathrm dx</math>. לבסוף, <math>y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{(n-1)\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)p(x)\mathrm e^{\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}</math>.
עבור <math>n>1</math>, ‏ <math>y\equiv0</math> פתרון פרטי (רגולרי), עבור <math>0<n<1</math> זה פתרון סינגולרי, ועבור <math>n<0</math> הוא אינו פתרון.
=== דוגמה ===
נפתור <math>y'-2xy=2x^3y^2</math>. עבור הסימנים הנ״ל <math>p(x)=-2x,q(x)=2x^3,n=2</math> ואז <math>y=\left(\mathrm e^{-x^2}\int2x^3\mathrm e^{x^2}\mathrm dx\right)^{-1}</math>. נציב <math>u=x^2</math> ואז <math>\int2x^3\mathrm e^{x^2}\mathrm dx=\mathrm e^{x^2}-x^2\mathrm e^{x^2}+c</math>, ולבסוף <math>y=\frac1{c\mathrm e^{-x^2}-x^2+1}</math>.
== מד״ר מדויקת ==
<math>P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0</math>. נניח שקיימת <math>U(x,y)</math> עבורה <math>\frac{\partial U}{\partial x}=P(x,y),\frac{\partial U}{\partial y}=Q(x,y)</math>. לפיכך <math>\mathrm dU=P\mathrm dx+Q\mathrm dy</math> והמד״ר הופכת ל־<math>\mathrm dU=0</math> כלומר <math>U=\text{const.}</math>. אם היא קיימת אזי <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac\partial{\partial y}\frac{\partial U}{\partial x}=\frac\partial{\partial x}\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial U}{\partial x}</math>.
=== דוגמה ===
<math>(3x^2+6xy^2)\mathrm dx+(6x^2y+4y^3)\mathrm dy=0</math>. לפיכך <math>\frac{\partial P}{\partial y}=12xy=\frac{\partial Q}{\partial x}</math>, כדרוש. מתקיים <math>U=\int P\mathrm dx=x^3+3x^2y^2+c(y)</math>. נדרוש ש־<math>\frac{\partial U}{\partial y}=6x^2y+c'(y)=Q</math> ואז <math>c'(y)=4y^3\implies c(y)=y^4+c</math>. לבסוף נדרוש ש־<math>c</math> יקיים <math>U=x^3+3x^2y^2+y^4+c=0</math> (נשים לב שניתן לבחור גם כל קבוע אחר מלבד 0, אבל שינוי בסה״כ יחליף את הקבוע <math>c</math>).
=== גורם אינטגרציה ===
אם נכפיל את אגפי המד״ר ב־<math>\mu</math> נקבל <math>\mu P\mathrm dx+\mu Q\mathrm dy=0</math>. לפיכך <math>\frac{\partial\mu}{\partial y}P-\frac{\partial\mu}{\partial x}Q=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)</math>.
==== מקרה 1 ====
<math>\mu</math> תלוי רק ב־<math>x</math>. לכן <math>-\frac{\partial\mu}{\partial x}=\underbrace{\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}Q}_a\mu</math> לפיכך <math>\mu(x)=\mathrm e^{-\int a\mathrm dx}</math>. נשים לב ש־<math>\mu</math> תלוי רק ב־<math>x</math> אם״ם <math>a</math> תלוי רק ב־<math>x</math>.
==== מקרה 2 ====
<math>\mu</math> תלוי רק ב־<math>y</math>. זה מתקיים אם״ם <math>b:=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P</math> תלוי רק ב־<math>y</math>, ואז <math>\mu(y)=\mathrm e^{-\int b\mathrm dy}</math>.
===== דוגמה =====
נפתור את המד״ר <math>\underbrace{(1-x^2y)}_P\mathrm dx+\underbrace{x^2(y-x)}_Q\mathrm dy=0</math>. אזי <math>\frac{\partial P}{\partial y}=-x^2,\frac{\partial Q}{\partial x}=2xy-3x^2</math>. נשים לב ש־<math>\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}Q=\frac2x</math>, כלומר תלוי אך ורק ב־<math>x</math>, ולכן נגדיר <math>\mu=\mathrm e^{-\int\frac2x\mathrm dx}=\mathrm e^{-2\ln|x|}=-\frac1{x^2}</math>. נכפיל את אגפי המד״ר ב־<math>\mu</math> ונקבל <math>\left(\frac1{x^2}-y\right)\mathrm dx+(y-x)\mathrm dy=0</math>. המד״ר החדשה מקיימת <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=-1</math>, ומכאן נוכל להמשיך לפתור כרגיל. {{משל}}
''הערה:'' נשים לב ש־<math>\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P=\frac{2xy-2x^2}{1-x^2y}</math> תלוי גם ב־<math>x</math> וגם ב־<math>y</math>, ולכן הגדרת <math>\mu</math> התלויה ב־<math>y</math> לא תועיל לנו.
נניח שגודל החוב ממשכנתה בזמן מסוים <math>t</math> הוא <math>y(t)</math>. הריבית היא <math>R</math> ליחידת זמן וההחזר הוא <math>P</math> ליחידת זמן. אזי <math>y(t+\Delta t)=y(t)+Ry(t)\Delta t-P\Delta t</math>. אם נניח שהבנק מחשב את הריבית באופן רציף נקבל {{left|<math>\begin{align}&\lim_{\Delta t\to0}\frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}=y'(t)=Ry(t)-P\\\implies&\frac{y'}{y-\frac PR}=R\\\implies&\left|y-\frac PR\right|=c\mathrm e^{Rt}\\\implies&y=\frac PR+c\mathrm e^{Rt}\end{align}</math>}}נוסיף תנאי התחלה <math>y(0)=y_0</math>. לכן <math>c=y_0-\frac PR</math> ולבסוף <math>y=\frac PR+\left(y_0-\frac PR\right)\mathrm e^{Rt}</math>. אנו נסיים לשלם את המשכנתה כאשר <math>y=0</math>, כלומר כאשר <math>t=\frac{\ln\left(\frac PR\right)-\ln\left(\frac PR-y_0\right)}R</math>. {{משל}}
== מד״ר מסוג <math>y'=f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{ax+by+c}\right)</math> ==
כבר למדנו לפתור מד״ר מהצורה <math>y'=f(ax+by)</math>, והיום נלמד גם <math>y'=f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{ax+by+c}\right)</math>.
=== מקרה 1 ===
נניח ש־<math>\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a&b\end{vmatrix}\ne0</math>. נסמן <math>x=p+\alpha, y=q+\beta</math> ולכן <math>\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=a_1p+b_1q+(a_1\alpha+b_1\beta+c_1)\\ax+by+c=ap+bq+(a\alpha+b\beta+c)\end{cases}</math>. נדרוש שהמקדמים החופשיים יהיו 0 בשני המקרים ולכן <math>\begin{pmatrix}a_1&b_1\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}c_1\\c\end{pmatrix}</math>. נקבל <math>y'=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=f\left(\frac{a_1+b_1\frac qp}{a+b\frac qp}\right)</math>, וזו מד״ר מהצורה <math>y'=f\left(\frac yx\right)</math>, שאותה אנו יודעים לפתור.
==== דוגמה ====
נפתור <math>y'=\frac{2x+3y+4}{x+y+2}</math>. נציב <math>x,y</math> כנ״ל ולפיכך <math>\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{2p+3q}{p+q+\alpha+\beta+2}</math> עלינו לדרוש ש־<math>2\alpha+3\beta=-4\ \and\ \alpha+\beta=-2</math> ומכך נובע <math>y=q\ \and\ x=p-2</math>. נסמן <math>z=\frac pq</math> ואז{{left|<math>\begin{align}&p\frac{\mathrm dz}{\mathrm dp}+z=\frac{2+3z}{1+z}\\\implies&\int\frac{2-(1-z)}{2+2z-z^2}\mathrm dz=\int\frac{\mathrm dp}p\\\implies&\int\frac2{3-(1-z)^2}\mathrm dz-\frac12\ln|2-2z+z^2|=\ln|p|+c\\\implies&\frac23\arccot\left(\frac{1-z}\sqrt3\right)-\frac12\ln|2-2z+z^2|=\ln|p|+c\end{align}</math>}}עתה מציבים <math>z=\frac y{x+2}, p=x+2</math> וקיבלנו את הפתרון בצורה של פונקציה סתומה.
מקרה 2: נסמן <math>a_1=\lambda a, b_1=\lambda b</math> ואז <math>y'=f\left(\frac{\lambda(ax+by)+c_1}{(ax+by)+c}\right)</math>. נציב <math>z=ax+by</math> ואנו כבר יודעים לפתור זאת.
== מד״ר לינארית מסדר I ==
זו מד״ר מהצורה <math>y'+p(x)y=q(x)</math> כאשר <math>p,q</math> לאו דווקא לינאריות. היא תקרא הומוגנית אם <math>q(x)\equiv0</math>, ובמקרה זה נקבל:{{left|<math>\begin{align}&\int\frac{\mathrm dy}y=-\int p(x)\mathrm dx\\\implies&y=c\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\end{align}</math>}}במקרה הלא הומוגני נוכל להכפיל את אגפי המשוואה ב־<math>\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}</math> ונשים לב שמקבלים <math>\left(y\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}\right)'=q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}</math>. לכן <math>y'=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\cdot\int q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx</math>.
=== וריאצית הפרמטרים ===
נניח שהפתרון הוא <math>cy_b(x)</math> (במקרה ההומוגני) או <math>c(x)y_b(x)</math> (במקרה הלא הומוגני). נציב זאת במד״ר ונקבל <math>c(x)y_b'(x)+c'(x)y_b(x)+p(x)c(x)y_b(x)=q(x)</math> ולכן <math>c'(x)y_b(x)=q(x)</math>. נותר לפתור את המד״ר <math>c'(x)=\frac{q(x)}{y_b(x)}</math>
==== דוגמה ====
נתונה מד״ר <math>y'=\frac{x^2-y}x</math> עם תנאי התחלה <math>y(1)=5</math>. אזי <math>y'+\frac1xy=x</math> ולכן, מפני שזו מד״ר לינארית מסוג I,{{left|<math>\begin{align}y&=\mathrm e^{-\int\frac{\mathrm dx}x}\int x\mathrm e^{\int\frac{\mathrm dx}x}\\&=\mathrm e^{-\ln|x|}\int x|x|\mathrm dx\\&=\frac{c_1}{|x|}+\frac1x\int x^2\mathrm dx\\&=\frac{c_1}{|x|}+\frac{x^2}3\\&=\frac cx+\frac{x^2}3\end{align}</math>}}כאשר <math>c=\sgn(x)c_1</math>. נציב את תנאי ההתחלה: <math>5=\frac c1+\frac{1^2}3\implies c=\frac{14}3</math>, לכן <math>y=\frac{14}{3x}+\frac{x^2}3</math>.
== משוואות ברנולי ==
אלה מד״ר מהצורה <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1</math>. אם <math>n>0</math> אז <math>y(x)\equiv0</math> פתרון (רגולרי או סינגולרי). אם <math>n<0</math> אזי <math>y(x)\equiv0</math> אינו פתרון, לכן נוכל להתייחס למד״ר השקולה <math>\frac{y'}{y^n}+p(x)y^{1-n}=q(x)</math> ולהציב <math>z=y^{1-n}</math>. נקבל <math>z'=(1-n)y^{-n}y'</math> ואז <math>z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)</math>, שהיא מד״ר לינארית מסוג I. לפיכן <math>z=\mathrm e^{(n-1)\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\mathrm dx</math>. לבסוף, <math>y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{(n-1)\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)p(x)\mathrm e^{\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}</math>.
עבור <math>n>1</math>, ‏ <math>y\equiv0</math> פתרון פרטי (רגולרי), עבור <math>0<n<1</math> זה פתרון סינגולרי, ועבור <math>n<0</math> הוא אינו פתרון.
=== דוגמה ===
נפתור <math>y'-2xy=2x^3y^2</math>. עבור הסימנים הנ״ל <math>p(x)=-2x,q(x)=2x^3,n=2</math> ואז <math>y=\left(\mathrm e^{-x^2}\int2x^3\mathrm e^{x^2}\mathrm dx\right)^{-1}</math>. נציב <math>u=x^2</math> ואז <math>\int2x^3\mathrm e^{x^2}\mathrm dx=\mathrm e^{x^2}-x^2\mathrm e^{x^2}+c</math>, ולבסוף <math>y=\frac1{c\mathrm e^{-x^2}-x^2+1}</math>.
== מד״ר מדויקת ==
<math>P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0</math>. נניח שקיימת <math>U(x,y)</math> עבורה <math>\frac{\partial U}{\partial x}=P(x,y),\frac{\partial U}{\partial y}=Q(x,y)</math>. לפיכך <math>\mathrm dU=P\mathrm dx+Q\mathrm dy</math> והמד״ר הופכת ל־<math>\mathrm dU=0</math> כלומר <math>U=\text{const.}</math>. אם היא קיימת אזי <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac\partial{\partial y}\frac{\partial U}{\partial x}=\frac\partial{\partial x}\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial U}{\partial x}</math>.
=== דוגמה ===
<math>(3x^2+6xy^2)\mathrm dx+(6x^2y+4y^3)\mathrm dy=0</math>. לפיכך <math>\frac{\partial P}{\partial y}=12xy=\frac{\partial Q}{\partial x}</math>, כדרוש. מתקיים <math>U=\int P\mathrm dx=x^3+3x^2y^2+c(y)</math>. נדרוש ש־<math>\frac{\partial U}{\partial y}=6x^2y+c'(y)=Q</math> ואז <math>c'(y)=4y^3\implies c(y)=y^4+c</math>. לבסוף נדרוש ש־<math>c</math> יקיים <math>U=x^3+3x^2y^2+y^4+c=0</math> (נשים לב שניתן לבחור גם כל קבוע אחר מלבד 0, אבל שינוי בסה״כ יחליף את הקבוע <math>c</math>).
=== גורם אינטגרציה ===
אם נכפיל את אגפי המד״ר ב־<math>\mu</math> נקבל <math>\mu P\mathrm dx+\mu Q\mathrm dy=0</math>. לפיכך <math>\frac{\partial\mu}{\partial y}P-\frac{\partial\mu}{\partial x}Q=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)</math>.
==== מקרה 1 ====
<math>\mu</math> תלוי רק ב־<math>x</math>. לכן <math>-\frac{\partial\mu}{\partial x}=\underbrace{\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}Q}_a\mu</math> לפיכך <math>\mu(x)=\mathrm e^{-\int a\mathrm dx}</math>. נשים לב ש־<math>\mu</math> תלוי רק ב־<math>x</math> אם״ם <math>a</math> תלוי רק ב־<math>x</math>.
==== מקרה 2 ====
<math>\mu</math> תלוי רק ב־<math>y</math>. זה מתקיים אם״ם <math>b:=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P</math> תלוי רק ב־<math>y</math>, ואז <math>\mu(y)=\mathrm e^{-\int b\mathrm dy}</math>.
===== דוגמה =====
נפתור את המד״ר <math>\underbrace{(1-x^2y)}_P\mathrm dx+\underbrace{x^2(y-x)}_Q\mathrm dy=0</math>. אזי <math>\frac{\partial P}{\partial y}=-x^2,\frac{\partial Q}{\partial x}=2xy-3x^2</math>. נשים לב ש־<math>\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}Q=\frac2x</math>, כלומר תלוי אך ורק ב־<math>x</math>, ולכן נגדיר <math>\mu=\mathrm e^{-\int\frac2x\mathrm dx}=\mathrm e^{-2\ln|x|}=-\frac1{x^2}</math>. נכפיל את אגפי המד״ר ב־<math>\mu</math> ונקבל <math>\left(\frac1{x^2}-y\right)\mathrm dx+(y-x)\mathrm dy=0</math>. המד״ר החדשה מקיימת <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=-1</math>, ומכאן נוכל להמשיך לפתור כרגיל. {{משל}}
''הערה:'' נשים לב ש־<math>\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P=\frac{2xy-2x^2}{1-x^2y}</math> תלוי גם ב־<math>x</math> וגם ב־<math>y</math>, ולכן הגדרת <math>\mu</math> התלויה ב־<math>y</math> לא תועיל לנו.
