שינויים
יצירת דף עם התוכן "פתרון המד״ר משיעור קודם: <math>\frac{\ln\left(\frac y{x+2}+\sqrt3-1\right)-\ln\left(-\frac y{x+2}+\sqrt3+1\right)}\sqrt3-\frac12\ln\left|2+\frac..."
פתרון המד״ר משיעור קודם: <math>\frac{\ln\left(\frac y{x+2}+\sqrt3-1\right)-\ln\left(-\frac y{x+2}+\sqrt3+1\right)}\sqrt3-\frac12\ln\left|2+\frac{2y}{x+y}-\left(\frac y{x+2}\right)^2\right|=\ln|x+2|+c</math>.
== מד״ר מסדר גבוה ==
מד״ר מסדר שני: <math>F(x,y,y',y'')=0</math>. הפתרון הוא מהצורה <math>y=\varphi(x,c_1,c_2)</math>.
=== בעיית קושי מסדר 2 ===
נתונים שני תנאי התחלה <math>y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y_0'</math> (כמובן ש־<math>y_0'</math> אינו הנגזרת של הקבוע <math>y_0</math>, אלא ערך הנגזרת בנקודה <math>x_0</math>).
==== סוג 1 ====
מתקיים <math>y^{(n)}=f(x)</math>. ניתן לפתור זאת ע״י אינטגרציה <math>n</math> פעמים (במקרה שלנו, <math>n=2</math>).
==== סוג 2 ====
אלה המקרים שבהם ניתן להוריד את סדר המשוואה. עבור מד״ר מסדר 2, נחלק לשני מקרים:
''מקרה 1:'' <math>y</math> לא מופיע במשוואה, כלומר המשוואה מהצורה <math>y''=f(x,y')</math>. במקרה זה נציב <math>z=y'</math> ונקבל מד״ר מסדר ראשון. נדגים: <math>y''=x y'</math>. לכן <math>z'=xz</math>, לפיכך <math>\int\frac{z'}z\mathrm dz=\int x\mathrm dx</math> ואז <math>\ln|z|=\frac{x^2}2+c_1</math>. מכאן ש־<math>y=c_1\int\mathrm e^{\frac{x^2}2}\mathrm dx</math>.
''מקרה 2:'' <math>x</math> לא מופיע, כלומר המד״ר מהצורה <math>y''=f(y,y')</math>. שוב נגדיר <math>z=y'</math>, ואז <math>y''=z'=\frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=z_y' z</math>. המד״ר הופכת ל־<math>zz_y'=f(y,z)</math>, כלומר מד״ר מסדר ראשון של <math>y,z</math>. נובע ש־<math>x=\int\frac{\mathrm dy}z</math>. דוגמה: בהנתן <math>yy''-2(y')^2=0</math> נציב באופן הנ״ל ונקבל <math>y\frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}=2z</math>, כך שלבסוף <math>\int\frac{\mathrm dz}{2z}=\int\frac{\mathrm dy}y\implies z=c_1\mathrm e^{y^2}</math>. נותר להציב ולקבל <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=c_1y^2\implies\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=\int c_1\mathrm dx\implies y=\frac{c_2}{c_1x+1}</math>.
=== משוואת ריקטי ===
מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. פתרון כללי של משוואת ריקטי הוא מהצורה <math>y=\frac{c a(x)+b(x)}{c A(x)+B(x)}</math>, ולכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה.
==== הוכחה ====
ראשית, נוכיח שלכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה: <math>y\cdot(cA+B)=ca+b</math> ולכן <math>c(yA-a)-b+yB=0</math>. נגזור את שני האגפים ונקבל <math>c(y'A+A'y-a')-b'+(y'B+B'y)=0</math>. שתי המשוואות האחרונות נכונות לכל <math>c</math> ולפיכך <math>\begin{vmatrix}y'A+A'y-a'&-b'+y'B+B'y\\yA-a&-b+yB\end{vmatrix}=0</math>. נחשב את הדטרמיננטה ונגלה ש־<math>y'+y^2\frac{AB'-B'a}{Ab-aB}+y\frac{a'B-A'B-Ab'-aB'}{bA-aB}+\frac{ab'-a'b}{bA-aB}=0</math>, כדרוש.
לצד השני, תהי <math>y_p(x)</math> פתרון פרטי <math>a</math> של משוואת ריקטי. נציב <math>y(x)=y_p(x)+z(x)</math>. עתה <math>z'+y_p'+f(x)\left(z^2+2zy_p+y_p^2\right)+g(x)(y_p+z)+h(x)=0</math> (*). אמרנו ש־<math>y_p</math> פתרון של משוואת ריקטי ולכן <math>y_p'+f(x)y_p^2+g(x)y_p+h(x)=0</math>. נשים לב שאגף שמאל מופיע במשוואה (*) ונציב: <math>z'+\left(2f(x)y_p+g(x)\right)z+z^2=0</math>. נציב <math>z=\frac1{c\alpha(x)+\beta(x)}</math> ולבסוף <math>y=y_p+z=\frac{cy_p(x)\alpha(x)+y_p(x)p(x)+1}{x\alpha(x)+\beta(x)}</math>. {{משל}}
== מערכת מד״ר מסדר ראשון ==
מהצורה <math>\vec F(x,\vec y,\vec y')=0</math> כאשר <math>\vec F</math> היא מערכת של <math>n</math> פונקציות ב־<math>2n+1</math> משתנים. בצורה נורמלית: <math>\vec y'=\vec f(x,\vec y)</math>. לפיכך <math>\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\varphi(x,c_1,c_2)\\\psi(x,c_1,c_2)\end{pmatrix}</math>.
=== דוגמה ===
<math>y_1'+\sin(x)+y_1y_2x^2=0</math>. גזירת שני האגפים תתן <math>\frac{y_1'}{y_2}+\frac{y_2'}{y_1}+\cos(x)=0</math>.
=== בעיית קושי ===
נתון תנאי ההתחלה <math>\vec y(x_0)=\vec y_0</math>.
=== משפט ===
מד״ר מסדר <math>n</math> (נורמלית/לינארית/לינארית הומוגנית) שקולה למערכת של <math>n</math> מד״ר מסדר ראשון (נורמליות/לינאריות/לינאריות והומוגניות). אם למד״ר מסדר גבוה נתונים תנאי התחלה <math>y(x_0),y'(x_0),\dots,y^{(n-1)}(x_0)</math> זה שקול לבעיית קושי עבור המערכת.
==== הוכחה ====
נתונה המד״ר <math>F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0</math> ונסמן <math>\forall k=1,\dots, n-1:\ y_k=y^{(k)}</math>. לכן <math>F(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{k-1},y_{k-1}')=0</math>. נוסיף את המד״ר הבאות: <math>\forall k=1,\dots,n-1:\ y_k=y_{k-1}'</math>. המערכת שקולה למד״ר המקורית והיא נורמלית/לינארית/לינארית הומוגנית בהתאם למערכת המקורית. {{משל}}
==== דוגמה ====
<math>y^{(3)}+x^2y''+\sin(x)y=0</math>. נציב <math>z=y'</math> ו־<math>w=z'=y''</math>. לפיכך <math>\begin{cases}w'+x^2w+\sin(x)y=0\\z=y'\\w=z'\end{cases}</math>.
== מד״ר סתומות מסדר 1 ==
אלה מד״ר <math>F(x,y,y')=0</math> שאנו לא יודעים כיצד להביאן לצורה נורמלית.
''מקרה 1:'' משוואה מסדר 1 ממעלה <math>n</math>: <math>(y')^n+P_1(x,y)(y')^{n-1}+\dots+\P_{n-1}(x,y)y'+P_n(x,y)=0</math>. מכאן שקיימות פונקציות <math>f_k,\quad k\in\{1,2,\dots,n\}</math> שעבורן <math>(y'-f_1(x,y))\cdot\dots\cdot(y'-f_n(x,y))=0</math>. דוגמה: <math>(y')^2-\frac{xy}{a^2}=0</math> לכן <math>\left(y'-\frac\sqrt{xy}a\right)\left(y'+\frac\sqrt{xy}a\right)=0</math> ואז <math>\frac{y'}\sqrt y=\pm\frac\sqrt{xy}a</math>. נפעיל אינטגרציה: <math>2\sqrt y=\pm\frac{2x^{3/2}}{3a}+c</math>, כלומר <math>y=\frac14\left(c\pm\frac{2\sqrt x^3}{3a}\right)^2</math>.
''מקרה 2:'' <math>x</math> לא מופיע במד״ר. צורתה <math>F(y,y')=0</math> ובהצבת <math>p=y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}</math> נקבל <math>F(y,p)=0</math>. נשים לב ש־<math>\frac{\mathrm dp}p=\mathrm dx</math> ולכן <math>x=\int\mathrm dx-c_1=c+\int\frac{\mathrm dy}p=c+\int\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp</math>. לבסוף, אם <math>y=\varphi(p)</math> אזי <math>x=c+\frac{\varphi(p)}p+\int\frac{\varphi(p)}{p^2}\mathrm dp</math>. דוגמה: <math>y=(y')^2+2(y')^3</math>. נסמן <math>p=y'</math> ולפי המד״ר, <math>y=p^2+2p^3</math>. עתה <math>x=c+\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp=c+\frac{p^2+2p^3}p+\int(1+2p)\mathrm dp=c+p+2p^2+p+p^2=c+2p+3p^2</math>.
''מקרה 3:'' <math>y</math> לא מופיע, <math>F(x,y')=0</math>. נציב <math>y'=p</math> ואז, אם <math>x=\varphi(y')</math>, מתברר ש־<math>x=\varphi(p)</math>. אזי <math>y=\int p\mathrm dx+c=c+px-\int x\mathrm dp</math>. לסיכום, <math>y=c+p\cdot\varphi(p)-\int\varphi(p)\mathrm dp</math>. דוגמה: <math>x=y'\sin(y')</math>. אחרי הצבה <math>x=p\sin(p)</math> ולבסוף <math>y=c+p\cdot p\sin(p)-\int p\sin(p)\mathrm dp=x+p^2\sin(p)+p\cos(p)-\sin(p)</math>.
''מקרה 4:'' <math>x</math> או <math>y</math> מופיעים, אבל המד״ר סתומה לגביהם. דהיינו, <math>F(x,y')=0</math> או <math>F(y,y')=0</math>. נגדיר <math>y'=p</math>.
:''מקרה 4.1:'' <math>F(y,p)=0</math>. נציב <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>p=\psi(t)</math>. מתקיים <math>\mathrm dy=\psi(t)\mathrm dx=\varphi_t'(t)\mathrm dt</math>. נקבל <math>\mathrm dx=\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>, כלומר <math>\begin{cases}x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt\\y=\varphi(t)\end{cases}</math>. דוגמה: <math>y=a\sqrt{1+(y')^2}</math>. נסמן <math>\psi(t)=\sinh(t)=p</math>, נציב במד״ר ונקבל <math>y=a\cosh(t)=\varphi(t)</math>. לבסוף, <math>x=\int\frac{a\sinh(t)}{\sinh(t)}\mathrm dt=at+c</math>.
:''מקרה 4.2:'' <math>F(x,y')=0</math>. נציב <math>p=y',x=\varphi(t)</math>. אזי <math>F(\varphi(t),p)=0</math> ונסמן <math>p=\psi(t)</math>. עתה <math>\mathrm dx=\varphi_t'(t)\mathrm dt=\frac{\mathrm dy}{\psi(t)}</math>. מאינטגרציה נקבל <math>y=c+\int\psi(t)\varphi_t'(t)\mathrm dt</math> כאשר <math>x=\varphi(t)</math>.
== מד״ר מסדר גבוה ==
מד״ר מסדר שני: <math>F(x,y,y',y'')=0</math>. הפתרון הוא מהצורה <math>y=\varphi(x,c_1,c_2)</math>.
=== בעיית קושי מסדר 2 ===
נתונים שני תנאי התחלה <math>y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y_0'</math> (כמובן ש־<math>y_0'</math> אינו הנגזרת של הקבוע <math>y_0</math>, אלא ערך הנגזרת בנקודה <math>x_0</math>).
==== סוג 1 ====
מתקיים <math>y^{(n)}=f(x)</math>. ניתן לפתור זאת ע״י אינטגרציה <math>n</math> פעמים (במקרה שלנו, <math>n=2</math>).
==== סוג 2 ====
אלה המקרים שבהם ניתן להוריד את סדר המשוואה. עבור מד״ר מסדר 2, נחלק לשני מקרים:
''מקרה 1:'' <math>y</math> לא מופיע במשוואה, כלומר המשוואה מהצורה <math>y''=f(x,y')</math>. במקרה זה נציב <math>z=y'</math> ונקבל מד״ר מסדר ראשון. נדגים: <math>y''=x y'</math>. לכן <math>z'=xz</math>, לפיכך <math>\int\frac{z'}z\mathrm dz=\int x\mathrm dx</math> ואז <math>\ln|z|=\frac{x^2}2+c_1</math>. מכאן ש־<math>y=c_1\int\mathrm e^{\frac{x^2}2}\mathrm dx</math>.
''מקרה 2:'' <math>x</math> לא מופיע, כלומר המד״ר מהצורה <math>y''=f(y,y')</math>. שוב נגדיר <math>z=y'</math>, ואז <math>y''=z'=\frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=z_y' z</math>. המד״ר הופכת ל־<math>zz_y'=f(y,z)</math>, כלומר מד״ר מסדר ראשון של <math>y,z</math>. נובע ש־<math>x=\int\frac{\mathrm dy}z</math>. דוגמה: בהנתן <math>yy''-2(y')^2=0</math> נציב באופן הנ״ל ונקבל <math>y\frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}=2z</math>, כך שלבסוף <math>\int\frac{\mathrm dz}{2z}=\int\frac{\mathrm dy}y\implies z=c_1\mathrm e^{y^2}</math>. נותר להציב ולקבל <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=c_1y^2\implies\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=\int c_1\mathrm dx\implies y=\frac{c_2}{c_1x+1}</math>.
=== משוואת ריקטי ===
מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. פתרון כללי של משוואת ריקטי הוא מהצורה <math>y=\frac{c a(x)+b(x)}{c A(x)+B(x)}</math>, ולכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה.
==== הוכחה ====
ראשית, נוכיח שלכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה: <math>y\cdot(cA+B)=ca+b</math> ולכן <math>c(yA-a)-b+yB=0</math>. נגזור את שני האגפים ונקבל <math>c(y'A+A'y-a')-b'+(y'B+B'y)=0</math>. שתי המשוואות האחרונות נכונות לכל <math>c</math> ולפיכך <math>\begin{vmatrix}y'A+A'y-a'&-b'+y'B+B'y\\yA-a&-b+yB\end{vmatrix}=0</math>. נחשב את הדטרמיננטה ונגלה ש־<math>y'+y^2\frac{AB'-B'a}{Ab-aB}+y\frac{a'B-A'B-Ab'-aB'}{bA-aB}+\frac{ab'-a'b}{bA-aB}=0</math>, כדרוש.
לצד השני, תהי <math>y_p(x)</math> פתרון פרטי <math>a</math> של משוואת ריקטי. נציב <math>y(x)=y_p(x)+z(x)</math>. עתה <math>z'+y_p'+f(x)\left(z^2+2zy_p+y_p^2\right)+g(x)(y_p+z)+h(x)=0</math> (*). אמרנו ש־<math>y_p</math> פתרון של משוואת ריקטי ולכן <math>y_p'+f(x)y_p^2+g(x)y_p+h(x)=0</math>. נשים לב שאגף שמאל מופיע במשוואה (*) ונציב: <math>z'+\left(2f(x)y_p+g(x)\right)z+z^2=0</math>. נציב <math>z=\frac1{c\alpha(x)+\beta(x)}</math> ולבסוף <math>y=y_p+z=\frac{cy_p(x)\alpha(x)+y_p(x)p(x)+1}{x\alpha(x)+\beta(x)}</math>. {{משל}}
== מערכת מד״ר מסדר ראשון ==
מהצורה <math>\vec F(x,\vec y,\vec y')=0</math> כאשר <math>\vec F</math> היא מערכת של <math>n</math> פונקציות ב־<math>2n+1</math> משתנים. בצורה נורמלית: <math>\vec y'=\vec f(x,\vec y)</math>. לפיכך <math>\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\varphi(x,c_1,c_2)\\\psi(x,c_1,c_2)\end{pmatrix}</math>.
=== דוגמה ===
<math>y_1'+\sin(x)+y_1y_2x^2=0</math>. גזירת שני האגפים תתן <math>\frac{y_1'}{y_2}+\frac{y_2'}{y_1}+\cos(x)=0</math>.
=== בעיית קושי ===
נתון תנאי ההתחלה <math>\vec y(x_0)=\vec y_0</math>.
=== משפט ===
מד״ר מסדר <math>n</math> (נורמלית/לינארית/לינארית הומוגנית) שקולה למערכת של <math>n</math> מד״ר מסדר ראשון (נורמליות/לינאריות/לינאריות והומוגניות). אם למד״ר מסדר גבוה נתונים תנאי התחלה <math>y(x_0),y'(x_0),\dots,y^{(n-1)}(x_0)</math> זה שקול לבעיית קושי עבור המערכת.
==== הוכחה ====
נתונה המד״ר <math>F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0</math> ונסמן <math>\forall k=1,\dots, n-1:\ y_k=y^{(k)}</math>. לכן <math>F(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{k-1},y_{k-1}')=0</math>. נוסיף את המד״ר הבאות: <math>\forall k=1,\dots,n-1:\ y_k=y_{k-1}'</math>. המערכת שקולה למד״ר המקורית והיא נורמלית/לינארית/לינארית הומוגנית בהתאם למערכת המקורית. {{משל}}
==== דוגמה ====
<math>y^{(3)}+x^2y''+\sin(x)y=0</math>. נציב <math>z=y'</math> ו־<math>w=z'=y''</math>. לפיכך <math>\begin{cases}w'+x^2w+\sin(x)y=0\\z=y'\\w=z'\end{cases}</math>.
== מד״ר סתומות מסדר 1 ==
אלה מד״ר <math>F(x,y,y')=0</math> שאנו לא יודעים כיצד להביאן לצורה נורמלית.
''מקרה 1:'' משוואה מסדר 1 ממעלה <math>n</math>: <math>(y')^n+P_1(x,y)(y')^{n-1}+\dots+\P_{n-1}(x,y)y'+P_n(x,y)=0</math>. מכאן שקיימות פונקציות <math>f_k,\quad k\in\{1,2,\dots,n\}</math> שעבורן <math>(y'-f_1(x,y))\cdot\dots\cdot(y'-f_n(x,y))=0</math>. דוגמה: <math>(y')^2-\frac{xy}{a^2}=0</math> לכן <math>\left(y'-\frac\sqrt{xy}a\right)\left(y'+\frac\sqrt{xy}a\right)=0</math> ואז <math>\frac{y'}\sqrt y=\pm\frac\sqrt{xy}a</math>. נפעיל אינטגרציה: <math>2\sqrt y=\pm\frac{2x^{3/2}}{3a}+c</math>, כלומר <math>y=\frac14\left(c\pm\frac{2\sqrt x^3}{3a}\right)^2</math>.
''מקרה 2:'' <math>x</math> לא מופיע במד״ר. צורתה <math>F(y,y')=0</math> ובהצבת <math>p=y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}</math> נקבל <math>F(y,p)=0</math>. נשים לב ש־<math>\frac{\mathrm dp}p=\mathrm dx</math> ולכן <math>x=\int\mathrm dx-c_1=c+\int\frac{\mathrm dy}p=c+\int\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp</math>. לבסוף, אם <math>y=\varphi(p)</math> אזי <math>x=c+\frac{\varphi(p)}p+\int\frac{\varphi(p)}{p^2}\mathrm dp</math>. דוגמה: <math>y=(y')^2+2(y')^3</math>. נסמן <math>p=y'</math> ולפי המד״ר, <math>y=p^2+2p^3</math>. עתה <math>x=c+\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp=c+\frac{p^2+2p^3}p+\int(1+2p)\mathrm dp=c+p+2p^2+p+p^2=c+2p+3p^2</math>.
''מקרה 3:'' <math>y</math> לא מופיע, <math>F(x,y')=0</math>. נציב <math>y'=p</math> ואז, אם <math>x=\varphi(y')</math>, מתברר ש־<math>x=\varphi(p)</math>. אזי <math>y=\int p\mathrm dx+c=c+px-\int x\mathrm dp</math>. לסיכום, <math>y=c+p\cdot\varphi(p)-\int\varphi(p)\mathrm dp</math>. דוגמה: <math>x=y'\sin(y')</math>. אחרי הצבה <math>x=p\sin(p)</math> ולבסוף <math>y=c+p\cdot p\sin(p)-\int p\sin(p)\mathrm dp=x+p^2\sin(p)+p\cos(p)-\sin(p)</math>.
''מקרה 4:'' <math>x</math> או <math>y</math> מופיעים, אבל המד״ר סתומה לגביהם. דהיינו, <math>F(x,y')=0</math> או <math>F(y,y')=0</math>. נגדיר <math>y'=p</math>.
:''מקרה 4.1:'' <math>F(y,p)=0</math>. נציב <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>p=\psi(t)</math>. מתקיים <math>\mathrm dy=\psi(t)\mathrm dx=\varphi_t'(t)\mathrm dt</math>. נקבל <math>\mathrm dx=\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>, כלומר <math>\begin{cases}x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt\\y=\varphi(t)\end{cases}</math>. דוגמה: <math>y=a\sqrt{1+(y')^2}</math>. נסמן <math>\psi(t)=\sinh(t)=p</math>, נציב במד״ר ונקבל <math>y=a\cosh(t)=\varphi(t)</math>. לבסוף, <math>x=\int\frac{a\sinh(t)}{\sinh(t)}\mathrm dt=at+c</math>.
:''מקרה 4.2:'' <math>F(x,y')=0</math>. נציב <math>p=y',x=\varphi(t)</math>. אזי <math>F(\varphi(t),p)=0</math> ונסמן <math>p=\psi(t)</math>. עתה <math>\mathrm dx=\varphi_t'(t)\mathrm dt=\frac{\mathrm dy}{\psi(t)}</math>. מאינטגרציה נקבל <math>y=c+\int\psi(t)\varphi_t'(t)\mathrm dt</math> כאשר <math>x=\varphi(t)</math>.
