שינויים
/* תרגיל 6 שאלת בונוס (מתמטיקאים) */ פסקה חדשה
::נכון. תובנה יפה. בהמשך לכך שימו לב שאם התנאי <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}>1</math> מתקיים נניח החל מ<math>n_0</math> אז אם
<math>a_{n_0}</math> שלילי אז התנאי דווקא יגרום לכך שהסדרה מונוטונית יורדת מאותו מקום,וגם אז הגבול לא יכול להיות אפס. כי אם תהיה התכנסות הגבול יהיה קטן או שווה ל<math>a_{n_0}</math> שהוא שלילי. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:02, 26 בדצמבר 2012 (IST)
== תרגיל 6 שאלת בונוס (מתמטיקאים) ==
נתון בשאלה שמתקיים: <math>\lim_{n\to \infty} (a_{n+1}-a_{n})=0</math>
כלומר, לכל <math>\varepsilon> 0 </math> קיים <math>n_{0}</math> שהחל ממנו <math>\left |a_{n+1}-a_{n} \right |< \varepsilon</math>
ניסיתי להשתמש בקושי ולטעון:
<math>\left | a_{n+p}-a_{n} \right |=\left | a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-a_{n+p-2}+...+a_{n+1}-a_{n} \right |\leq \left | a_{n+p}-a_{n+p-1} \right |+\left | {n+p-1}-a_{n+p-2} \right |+...+\left | a_{n+1}-a_{n} \right |
</math>
ולכל <math>n\geq n_{0}</math> מתקיים:
<math>\left | a_{n+p}-a_{n} \right |< \varepsilon +\varepsilon +...+\varepsilon =p\cdot \varepsilon </math>
נבחר <math>\varepsilon=\frac{\varepsilon _{0}}{p} \Rightarrow \varepsilon \cdot p=\varepsilon _{0}
</math>
ונקבל : לכל <math>\varepsilon _{0}</math> (בהתאם לבחירת <math>\varepsilon</math> כרצוננו):
<math>\left | a_{n+p}-a_{n}\right |< \varepsilon _{0}</math>
ולכן, לפי קושי, הסדרה מתכנסת לגבול סופי.
האם זה נכון?
