שינויים
יצירת דף עם התוכן "== שאלה 1 == יהיו הממ"חים <math>(X,\mathcal S,\mu)=(Y, \mathcal T, \nu)=(\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N), \#)</math>, כאשר <math>\#</math> היא..."
== שאלה 1 ==
יהיו הממ"חים <math>(X,\mathcal S,\mu)=(Y, \mathcal T, \nu)=(\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N), \#)</math>, כאשר <math>\#</math> היא מידת הספירה.
נגדיר פונקציה <math>f:X \times Y \to \mathbb R</math> ע"י <math>f(m,n)=\begin{cases} 2-2^{-m} & m=n\\ -2+2^{-m} & m=n+1\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}</math>.
א. מהו מלבן מדיד במרחב המכפלה <math>X \times Y</math>?
ב. הוכיחו כי <math>f</math> מדידה במרחב המכפלה.
ג. הוכיחו כי מתקיים <math>\int_\mathbb{N} \left[ \int_\mathbb{N} f(m,n) \, d\#(m) \right] \, d\#(n) \neq \int_\mathbb{N} \left[ \int_\mathbb{N} f(m,n) \, d\#(n) \right] \, d\#(m)</math>
ד. הסבירו מדוע סעיף ג' לא סותר את משפטי פוביני וטונלי.
== שאלה 2 (שאלה מס' 3 במבחן שנת תשע"א) ==
א. אפיינו קבוצות מדידות ביחס למידת המכפילה <math>u \times v</math>.
ב. צטטו את משפט טונלי.
ג. נניח ש-<math>(X,\mathcal S, u)</math> ו-<math>(Y,\mathcal T,v)</math> הם שני מרחבי מידה חיובית, כאשר המידות <math>u</math> ו-<math>v</math> שלימות ו-<math>\sigma</math>-סופיות. כרגיל נגדיר את מידת המכפילה <math>w=u \times v</math>. תהי <math>E \subseteq X \times Y</math> מדידה <math>dw</math>, ותהי <math>w(E)=0</math>.
הוכיחו שלכמעט כל <math>x \in X</math> הקבוצה <math>E_x=\{y \in Y: (x,y) \in E \}</math> מקיימת <math>v(E_x)=0</math>.
'''יש לפתור רק את סעיף ג''''
== שאלה 3 ==
השתמשו בזהות <math>\frac{1}{x}=\int_0^\infty e^{-xy} dy</math> ובמשפט פוביני כדי לחשב את <math>\int_0^b \int_0^\infty e^{-xy} \sin{x} \,dy \,dx </math> בשתי דרכים שונות.
ע"י זה הוכיחו כי <math>\lim_{b \to \infty} \int_0^b \frac{\sin x}{x} \,dx=\frac{\pi}{2}</math>.
אינטגרל שימושי: <math>\int e^{au} \sin u \,du= \frac{e^{au} \left(a \sin u -\cos u \right)}{1+a^2}+C</math>
'''הערה:''' האינטגרלים מתכנסים בהחלט, ולכן אפשר היה לרשום <math>dm(x),dm(y)</math> במקום <math>dx,dy</math>.
== שאלה 4 ==
יהי <math>X</math> אוסף כל הפולינומים עם מקדמים ממשיים <math>p: \mathbb R \to \mathbb R</math>. ברור כי <math>X</math> הוא מרחב וקטורי (אין צורך להוכיח זאת).
לכל פולינום <math>p \in X</math> נגדיר את <math>\| p \|</math> להיות הסכום של הערכים המוחלטים של המקדמים של <math>p</math>.
האם <math>\| \cdot \|</math> היא נורמה על <math>X</math>? ואם לא, אילו מאקסיומות הנורמה היא מקיימת?
== שאלה 5 ==
יהי <math>(X,\| \cdot \|)</math> מרחב בנך (מרחב נורמי שלם). ויהי <math>Y \le X</math> תת מרחב סגור. הוכיחו כי <math>(Y,\| \cdot \|)</math> הוא מרחב בנך.
'''זוהי עוד לא גרסה סופית של השאלות!'''
יהיו הממ"חים <math>(X,\mathcal S,\mu)=(Y, \mathcal T, \nu)=(\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N), \#)</math>, כאשר <math>\#</math> היא מידת הספירה.
נגדיר פונקציה <math>f:X \times Y \to \mathbb R</math> ע"י <math>f(m,n)=\begin{cases} 2-2^{-m} & m=n\\ -2+2^{-m} & m=n+1\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}</math>.
א. מהו מלבן מדיד במרחב המכפלה <math>X \times Y</math>?
ב. הוכיחו כי <math>f</math> מדידה במרחב המכפלה.
ג. הוכיחו כי מתקיים <math>\int_\mathbb{N} \left[ \int_\mathbb{N} f(m,n) \, d\#(m) \right] \, d\#(n) \neq \int_\mathbb{N} \left[ \int_\mathbb{N} f(m,n) \, d\#(n) \right] \, d\#(m)</math>
ד. הסבירו מדוע סעיף ג' לא סותר את משפטי פוביני וטונלי.
== שאלה 2 (שאלה מס' 3 במבחן שנת תשע"א) ==
א. אפיינו קבוצות מדידות ביחס למידת המכפילה <math>u \times v</math>.
ב. צטטו את משפט טונלי.
ג. נניח ש-<math>(X,\mathcal S, u)</math> ו-<math>(Y,\mathcal T,v)</math> הם שני מרחבי מידה חיובית, כאשר המידות <math>u</math> ו-<math>v</math> שלימות ו-<math>\sigma</math>-סופיות. כרגיל נגדיר את מידת המכפילה <math>w=u \times v</math>. תהי <math>E \subseteq X \times Y</math> מדידה <math>dw</math>, ותהי <math>w(E)=0</math>.
הוכיחו שלכמעט כל <math>x \in X</math> הקבוצה <math>E_x=\{y \in Y: (x,y) \in E \}</math> מקיימת <math>v(E_x)=0</math>.
'''יש לפתור רק את סעיף ג''''
== שאלה 3 ==
השתמשו בזהות <math>\frac{1}{x}=\int_0^\infty e^{-xy} dy</math> ובמשפט פוביני כדי לחשב את <math>\int_0^b \int_0^\infty e^{-xy} \sin{x} \,dy \,dx </math> בשתי דרכים שונות.
ע"י זה הוכיחו כי <math>\lim_{b \to \infty} \int_0^b \frac{\sin x}{x} \,dx=\frac{\pi}{2}</math>.
אינטגרל שימושי: <math>\int e^{au} \sin u \,du= \frac{e^{au} \left(a \sin u -\cos u \right)}{1+a^2}+C</math>
'''הערה:''' האינטגרלים מתכנסים בהחלט, ולכן אפשר היה לרשום <math>dm(x),dm(y)</math> במקום <math>dx,dy</math>.
== שאלה 4 ==
יהי <math>X</math> אוסף כל הפולינומים עם מקדמים ממשיים <math>p: \mathbb R \to \mathbb R</math>. ברור כי <math>X</math> הוא מרחב וקטורי (אין צורך להוכיח זאת).
לכל פולינום <math>p \in X</math> נגדיר את <math>\| p \|</math> להיות הסכום של הערכים המוחלטים של המקדמים של <math>p</math>.
האם <math>\| \cdot \|</math> היא נורמה על <math>X</math>? ואם לא, אילו מאקסיומות הנורמה היא מקיימת?
== שאלה 5 ==
יהי <math>(X,\| \cdot \|)</math> מרחב בנך (מרחב נורמי שלם). ויהי <math>Y \le X</math> תת מרחב סגור. הוכיחו כי <math>(Y,\| \cdot \|)</math> הוא מרחב בנך.
'''זוהי עוד לא גרסה סופית של השאלות!'''
