שינויים
יצירת דף עם התוכן "==שאלה 1== ===סעיף ב=== ידוע כי <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)>0</math> נניח ש <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cd..."
==שאלה 1==
===סעיף ב===
ידוע כי
<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)>0</math>
נניח ש
<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)=c>0</math>
נסמן <math>b_n=a_n\cdot n</math>
כלומר
<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>0</math>
טענת עזר: קיים <math>N</math> כך שאם <math>n>N</math> אז <math>b_n>\frac{c}{2}</math>
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב <math>b_n</math> שיותר קטנים מ <math>\frac{c}{2}</math>)
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ <math>b_n</math> שעבורם <math>b_n\leq \frac{c}{2}</math>
אז קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> כך ש <math>b_{n_k}\leq \frac{c}{2}</math> לכל <math>k\in \mathbb{N}</math>
נשים לב ש <math>b_n</math> היא חסומה מלרע ולכן <math>b_{n_k}</math> חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
לכן ל <math>b_{n_k}</math> יש תת סדרה מתכנסת <math>b_{n_{k_l}}</math> כך ש
<math>\lim_{l\rightarrow\infty}b_{n_{k_l}}\leq \frac {c}{2}</math>
וזאת בסתירה לכך ש <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>\frac{c}{2}</math>
זה מוכיח את טענת העזר.
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ <math>N\in \mathbb{N}</math> כלשהוא מתקיים
<math>b_n>\frac{c}{2}</math>
אבל בגלל ש <math>b_n=a_n\cdot n</math> זה אומר שהחל מאותו <math>N\in \mathbb{N}</math> מתקיים
<math>a_n > \frac{c}{2} \frac{1}{n}</math>
בגלל שהטור
<math>\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math>
מתבדר
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור <math>\ \sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר.
===סעיף ב===
ידוע כי
<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)>0</math>
נניח ש
<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)=c>0</math>
נסמן <math>b_n=a_n\cdot n</math>
כלומר
<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>0</math>
טענת עזר: קיים <math>N</math> כך שאם <math>n>N</math> אז <math>b_n>\frac{c}{2}</math>
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב <math>b_n</math> שיותר קטנים מ <math>\frac{c}{2}</math>)
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ <math>b_n</math> שעבורם <math>b_n\leq \frac{c}{2}</math>
אז קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> כך ש <math>b_{n_k}\leq \frac{c}{2}</math> לכל <math>k\in \mathbb{N}</math>
נשים לב ש <math>b_n</math> היא חסומה מלרע ולכן <math>b_{n_k}</math> חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
לכן ל <math>b_{n_k}</math> יש תת סדרה מתכנסת <math>b_{n_{k_l}}</math> כך ש
<math>\lim_{l\rightarrow\infty}b_{n_{k_l}}\leq \frac {c}{2}</math>
וזאת בסתירה לכך ש <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>\frac{c}{2}</math>
זה מוכיח את טענת העזר.
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ <math>N\in \mathbb{N}</math> כלשהוא מתקיים
<math>b_n>\frac{c}{2}</math>
אבל בגלל ש <math>b_n=a_n\cdot n</math> זה אומר שהחל מאותו <math>N\in \mathbb{N}</math> מתקיים
<math>a_n > \frac{c}{2} \frac{1}{n}</math>
בגלל שהטור
<math>\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math>
מתבדר
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור <math>\ \sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר.
