שינויים
/* סעיף ב */
<math>a\leq b</math>.
==שאלה 3==
===סעיף א===
<math>a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}</math>
נשים לב שבסכום זה יש <math>n</math> מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב <math>n</math> אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.
במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.
נגדיר:
<math>b_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}</math>
בגלל ש <math>n^2+1<n^2+i</math> (כאשר <math>1\leq i\leq n</math>)
ברור ש
<math>\frac{1}{\sqrt{n^2+i}}\leq \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} </math>
ולכן <math>a_n\leq b_n</math>
בצורה דומה נגדיר
<math>c_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}</math>
ויתקיים
<math>c_n\leq a_n</math>
<math>\lim_{n\rightarrow \infty} b_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}
=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1
</math>
ו
<math>\lim_{n\rightarrow \infty} c_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}
=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1
</math>
לכן לפי כלל הסנדויץ
<math>\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=1</math>
