שינויים
יצירת דף עם התוכן "בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. == אינטגרציה "רגילה" == הכוונה היא לבצע את..."
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש.
== אינטגרציה "רגילה" ==
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR>
<math>\int \left(e^x+1/x \right )dx=e^x+ln\left | x \right |+c</math>.
=== השלמה לריבוע ===
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-<math>arctan</math>.
==== דוגמה ====
<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx</math>
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{\left (x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=arctan\left (x+\frac{1}{2} \right )+c</math>
== אינטגרציה בחלקים ==
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים: <BR>
<math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
=== דוגמה ===
נחפש את <math>\int ln\ x \ dx</math>.
לפי השיטה, נסמן <math>f'\left (x \right )=1</math>, <math>g(x)=ln\ x</math>.
לכן נקבל <math>f(x)=x</math>, <math>g'(x)=\frac{1}{x}</math>.
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
<math>\int ln\ x \ dx=x\cdot ln\ x-\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx=x\cdot ln\ x-\int 1\ dx=x\cdot ln\ x-x+c</math>.
=== הרחבה ===
[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]
== אינטגרציה בהצבה ==
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים: <BR>
<math>\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+c</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
=== דוגמה ===
נחפש את <math>\int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx</math> כאשר <math>a>0</math>.
נבצע הצבה: <math>du=2\cdot sin\ x\cdot cos\ x\ dx=sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=sin^2 x</math>. מקבלים:
\int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx=\int \frac{1}{a+u}du=ln\left ( a+u \right )+c=ln(a+sin^2 x)+c (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).
=== הרחבה ===
[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
== ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית ==
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>.
נזכור כי 1+tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2 \alpha}, ונקבל cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}.
נקבל בנוסף cos\ x=2\dcot cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}.
לכן sin\ x=\sqrt{ 1-cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}
כמו כן, <math>x=2\cdot arctan\ t</math>, ולכן <math>dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>.
=== דוגמה ===
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx</math>
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. נקבל:
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx=\int\frac{1}{2+2\cdot \frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1+u^2}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1}{u^2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left (u+1\right )^2}du=-\frac{1}{u+1}+c=-\frac{1}{1+tan\left (\frac{x}{2}\right )}+c</math>
=== הרחבה ===
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
== אינטגרציה "רגילה" ==
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR>
<math>\int \left(e^x+1/x \right )dx=e^x+ln\left | x \right |+c</math>.
=== השלמה לריבוע ===
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-<math>arctan</math>.
==== דוגמה ====
<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx</math>
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{\left (x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=arctan\left (x+\frac{1}{2} \right )+c</math>
== אינטגרציה בחלקים ==
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים: <BR>
<math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
=== דוגמה ===
נחפש את <math>\int ln\ x \ dx</math>.
לפי השיטה, נסמן <math>f'\left (x \right )=1</math>, <math>g(x)=ln\ x</math>.
לכן נקבל <math>f(x)=x</math>, <math>g'(x)=\frac{1}{x}</math>.
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
<math>\int ln\ x \ dx=x\cdot ln\ x-\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx=x\cdot ln\ x-\int 1\ dx=x\cdot ln\ x-x+c</math>.
=== הרחבה ===
[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]
== אינטגרציה בהצבה ==
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים: <BR>
<math>\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+c</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
=== דוגמה ===
נחפש את <math>\int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx</math> כאשר <math>a>0</math>.
נבצע הצבה: <math>du=2\cdot sin\ x\cdot cos\ x\ dx=sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=sin^2 x</math>. מקבלים:
\int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx=\int \frac{1}{a+u}du=ln\left ( a+u \right )+c=ln(a+sin^2 x)+c (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).
=== הרחבה ===
[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
== ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית ==
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>.
נזכור כי 1+tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2 \alpha}, ונקבל cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}.
נקבל בנוסף cos\ x=2\dcot cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}.
לכן sin\ x=\sqrt{ 1-cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}
כמו כן, <math>x=2\cdot arctan\ t</math>, ולכן <math>dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>.
=== דוגמה ===
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx</math>
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. נקבל:
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx=\int\frac{1}{2+2\cdot \frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1+u^2}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1}{u^2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left (u+1\right )^2}du=-\frac{1}{u+1}+c=-\frac{1}{1+tan\left (\frac{x}{2}\right )}+c</math>
=== הרחבה ===
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
