שינויים
another way to express sin(x) as a result of the universal trigonometric substitution
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.
== אינטגרציה "רגילה" מיידית==אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.
<math>\int f'g==== דוגמה ====f\cdot g-\int fg'</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
===דוגמא===<math>\int\frac{1}{ln(x^2+x+1\frac{1}{4}})dx</math>
לכן נקבל <math>\int\frac{1}{f(x^2+)=x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{,\left g'(x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=arctan\left (x+\frac{1}{2x} \right )+c</math>.
נבצע הצבה<math>u=\int ln\ sin^2(x )\ dx</math> ולכן <math>du=x\cdot ln2\ sin(x-)\int cos(x\cdot \frac{1}{x}\ )dx=x\cdot ln\ x-\int 1\ sin(2x)dx=x\cdot ln\ x-x+c</math>.
=== דוגמה פונקציה רציונאלית==על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.*נבצע פירוק לשברים חלקיים.*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
נזכור כי <math>1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}</math> , ונקבל <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)= ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית =\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2}</math> .
<math>\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}= דוגמה ===\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}</math>
כמו כן, <math>x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math> . לסיכום, <math>u= הרחבה \tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math> ===דוגמא===<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}</math> נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> . נקבל: <math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du</math> <math>=\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C</math>
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
==הצבות אוילר==
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו- <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
===אוילר 1 - הפולינום פריק===
נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)</math> .
הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha)</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
====דוגמא====
<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
נעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)</math> .
לכן <math>(x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2</math> , כלומר <math>x-6=u^2(x-1)</math> , ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math> .
לכן <math>dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du</math> .
בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1}</math>
מקבלים:
<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6}</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
===אוילר 2 - פולינום יותר כללי===
ישנן שתי אפשרויות:
# בהינתן <math>a>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u</math> .
# בהינתן <math>c>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c</math> .
נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
====דוגמא====
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math> .
נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math> , כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math> .
לכן <math>dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du</math> ,
וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math> .
מקבלים:
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C</math>
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
==סיכום==
'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|דף מסכם]]'''