שינויים
יצירת דף עם התוכן "==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון== ===מבחן ההשוואה הראשון=== יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהי נק' <ma..."
==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון==
===מבחן ההשוואה הראשון===
יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהי נק' <math> c\geq a </math> כך שמתקיים <math> \forall_{x\geq c} : g(x)\geq f(x)\geq 0 </math>.
אזי מתקיים:
<math> \int_a^{\infty} g(x)dx </math> מתכנס <math> \int_a^{\infty} f(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס
<math> \int_a^{\infty} f(x)dx </math> מתבדר <math> \int_a^{\infty} g(x)dx \Leftarrow</math> מתבדר
<font size=4 color=#a7adcd>
'''דוגמא.'''
</font>
קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} dx </math> מתכנס או מתבדר
'''פתרון.'''
נשים לב כי <math> \arctan(x) </math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:
<math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>
<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x dx </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
===מבחן ההשוואה הראשון===
יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהי נק' <math> c\geq a </math> כך שמתקיים <math> \forall_{x\geq c} : g(x)\geq f(x)\geq 0 </math>.
אזי מתקיים:
<math> \int_a^{\infty} g(x)dx </math> מתכנס <math> \int_a^{\infty} f(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס
<math> \int_a^{\infty} f(x)dx </math> מתבדר <math> \int_a^{\infty} g(x)dx \Leftarrow</math> מתבדר
<font size=4 color=#a7adcd>
'''דוגמא.'''
</font>
קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} dx </math> מתכנס או מתבדר
'''פתרון.'''
נשים לב כי <math> \arctan(x) </math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:
<math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>
<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x dx </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
