שינויים
/* מחלקת צמידות יכולה להיות תת חבורה? */
בס"ד
שלום רב . אשמח בבקשה לדעת האם מחלקת צמידות יכולה להיות תת חבורה של מחלקת צמידות אחרת או תת חבורה של החבורה כללית אחרת ? אני שואל את זה כי אני חושב שלא מתקיים הפיכות לאיברים ולכן היא לא יכולה להיות תת חבורה. אפשר בבקשה הבהרה בנושא ?
תודה רבה :)
:תשובה: לא. לכל האיברים במחלקת צמידות יש אותו סדר, כי <math>(gag^{-1})^n=ga^ng^{-1}</math>. לכן, עבור <math>a</math> שאיננו היחידה, במחלקה <math>[a]</math> לא ניתן למצוא את איבר היחידה <math>e</math>. משכך, כל מחלקת צמידות איננה חבורה, לבד <math>[e]=\{e\}</math>. זו, כמובן, החבורה הטריוויאלית.
:נזכיר כאן שהגדרת תת-חבורה היא חבורה שהיא גם תת-קבוצה של חבורה אחרת, עם אותה הפעולה. לכן, אחרי שהוכחנו שמחלקת צמידות איננה חבורה, היא גם לא תת-חבורה.
:יש מקרים שבהם מחלקת צמידות סגורה ל'''הופכי''', לדוגמא: המחלקה של איבר מסדר 2 בחבורה אבלית. עדיין זו איננה חבורה, בגלל הטיעון הכללי שאמרתי קודם. אבל כדי שזו לא תהיה תת-חבורה, ולפי הקריטריון לת"ח, אנחנו יודעים שהיא לא סגורה לאחת משתי הפעולות: הופכי או הפעולה הבינארית. לדעתי צריכה ליות הוכחה שכל מחלקתצמידות איננה סגורה לפעולה, אבל אני לא מוצא אותה עכשיו.
:לתשומת לבכם, עדיין יש להוכיח את הטענה הראשונה בתשובה זו: לכל האיברי במחלקת צמידות יש אותו סדר. גם השויון שהבאתי טעון הוכחה. חיים רוזנר 18:14, 20 בינואר 2014 (EST)
