שינויים
יצירת דף עם התוכן "==פונקציה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל לא דיפרנציאבילית== <math>f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \te..."
==פונקציה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל לא דיפרנציאבילית==
<math>f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases}</math>
הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)
אך הנגזרות החלקיות קיימות:
<math>\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0} 0 = 0</math>
ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y
==פונקציה דיפרנציאבילית אבל הנגזרות החלקיות לא רציפות==
<math>f(x)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin(\frac{1}{x^2+y^2}) \ \text{if} \ x^2+y^2\neq 0 \\ 0\ \text{else}\end{cases}</math>
נשים לב ש- f דיפ' ב-0 והדיפרנציאל הוא <math>df_{(0,0)}\equiv 0</math> אך <math>\frac{\partial f}{\partial x} ,\frac{\partial f}{\partial y} </math> לא חסומות סביב (0,0):
<math>\frac{\partial f}{\partial x} (x,0) = -\frac{2}{x}\cdot \cos(\frac1{x^2})</math> - לא חסומה, ובאופן דומה הנגזרת החלקית לפי y
<math>f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases}</math>
הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)
אך הנגזרות החלקיות קיימות:
<math>\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0} 0 = 0</math>
ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y
==פונקציה דיפרנציאבילית אבל הנגזרות החלקיות לא רציפות==
<math>f(x)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin(\frac{1}{x^2+y^2}) \ \text{if} \ x^2+y^2\neq 0 \\ 0\ \text{else}\end{cases}</math>
נשים לב ש- f דיפ' ב-0 והדיפרנציאל הוא <math>df_{(0,0)}\equiv 0</math> אך <math>\frac{\partial f}{\partial x} ,\frac{\partial f}{\partial y} </math> לא חסומות סביב (0,0):
<math>\frac{\partial f}{\partial x} (x,0) = -\frac{2}{x}\cdot \cos(\frac1{x^2})</math> - לא חסומה, ובאופן דומה הנגזרת החלקית לפי y
