שינויים
יצירת דף עם התוכן "==משפט ערך הביניים המוכלל== יהיו <math>f(x),g(x)</math> פונקציות רצפיפות בקטע <math>[a,b]</math> וגזירות בק..."
==משפט ערך הביניים המוכלל==
יהיו <math>f(x),g(x)</math>
פונקציות רצפיפות בקטע <math>[a,b]</math>
וגזירות בקטע הפתוח <math>\left(a,b\right)</math>
אם <math>g(x)\not=0</math>
שמה אזי קיים <math>a<c<b</math>
כך ש <math>\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>
תרגיל: הוכח כי לכל <math>x,y\in[0,\frac{\pi}{3}]</math>
מתקיים <math>|tan(x)-tan(y)|\leq8\cdot|sin(x)-sin(y)|</math>
פתרון: נגדיר <math>f(x)=tan(x).g(x)=sin(x)</math>
לפי משפט ע"ב המוכלל <math>\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>
כאשר <math>x<c<y</math>
.
מתקיים <math>|\frac{f'(c)}{g'(c)}|=|\frac{\frac{1}{cos^{2}(c)}}{cos(c)}|=|\frac{1}{cos^{3}(c)}|\leq|\frac{1}{cos^{3}(\frac{\pi}{3})}|=8</math>
יהיו <math>f(x),g(x)</math>
פונקציות רצפיפות בקטע <math>[a,b]</math>
וגזירות בקטע הפתוח <math>\left(a,b\right)</math>
אם <math>g(x)\not=0</math>
שמה אזי קיים <math>a<c<b</math>
כך ש <math>\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>
תרגיל: הוכח כי לכל <math>x,y\in[0,\frac{\pi}{3}]</math>
מתקיים <math>|tan(x)-tan(y)|\leq8\cdot|sin(x)-sin(y)|</math>
פתרון: נגדיר <math>f(x)=tan(x).g(x)=sin(x)</math>
לפי משפט ע"ב המוכלל <math>\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>
כאשר <math>x<c<y</math>
.
מתקיים <math>|\frac{f'(c)}{g'(c)}|=|\frac{\frac{1}{cos^{2}(c)}}{cos(c)}|=|\frac{1}{cos^{3}(c)}|\leq|\frac{1}{cos^{3}(\frac{\pi}{3})}|=8</math>
