שינויים
דף חדש: == משפט == <math>A</math> לכסינה <math>\iff</math> הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה <math>m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)</math> עבור <…
== משפט ==
<math>A</math> לכסינה <math>\iff</math> הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה <math>m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)</math> עבור <math>\lambda_1,...,\lambda_k</math> הע"ע השונים של <math>A</math>
== הוכחה ==
'''<math>\Leftarrow</math>'''
<math>A</math> לכסינה ולכן קיים בסיס של ו"ע של <math>A</math> נקרא לו <math>B=\{v_1,...v_n\}</math>. ברור שהפולינום המינימלי של <math>A</math> חייב להכיל את הגורמים האי פריקים <math>t-\lambda_i</math> לכל הע"ע של <math>A</math>. לכן אם הפולינום <math>p(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)</math> מקיים <math>p(A)=0</math> אזי הוא הפולינום המינימלי (בוודאי אין פולינום קטן ממנו...)
אנו יודעים שעבור כל <math>v_i</math> קיים <math>\lambda_j</math> כך ש<math>Av_i=\lambda_j v_i</math>. מה הערך של <math>(A-\lambda_r)v_i</math> עבור <math>r\neq j</math>?
<math>(A-\lambda_r)v_i = \lambda_j v_i - \lambda_r v_i = (\lambda_j - \lambda_r)v_i</math>
הבה נסתכל ב <math>p(A)v_i</math>:
<math>p(A)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)\cdots(A-\lambda_kI)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)v_i=</math>
<math>=(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)v_i</math>
אבל <math>(A-\lambda_jI)v_i=0</math>
ולכן <math>p(A)v_i=0</math> לכל <math>v_i \in B</math>
<math>B</math> בסיס ולכן כל וקטור <math>v</math> ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי <math>B</math>:
<math>v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i</math>
ולכן <math>p(A)v=p(A)\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i=\sum_{i=1}^{n}\alpha_ip(A)v_i=0</math>
אם <math>p(A)\neq 0</math> אז קיימת לה עמודה <math>j</math> שונה מאפס, אזי <math>p(A)e_j\neq 0</math>. אבל ראינו ש <math>\forall v \in V :p(A)v=0</math> ולכן <math>p(A)=0</math> ולכן <math>p=m_A</math>.
'''<math>\Rightarrow</math>'''
קודם כל הפולינום המינימלי של <math>A</math> מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום המאפיין של <math>A</math>.
<math>n_i</math> כלומר החזקה של הגורם <math>t-\lambda_i</math> בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של <math>A</math>. לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי עבור כל ע"ע בצורת הז'ורדן של <math>A</math> הוא מגודל <math>1</math>. כלומר <math>A</math> לכסינה.
<math>A</math> לכסינה <math>\iff</math> הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה <math>m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)</math> עבור <math>\lambda_1,...,\lambda_k</math> הע"ע השונים של <math>A</math>
== הוכחה ==
'''<math>\Leftarrow</math>'''
<math>A</math> לכסינה ולכן קיים בסיס של ו"ע של <math>A</math> נקרא לו <math>B=\{v_1,...v_n\}</math>. ברור שהפולינום המינימלי של <math>A</math> חייב להכיל את הגורמים האי פריקים <math>t-\lambda_i</math> לכל הע"ע של <math>A</math>. לכן אם הפולינום <math>p(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)</math> מקיים <math>p(A)=0</math> אזי הוא הפולינום המינימלי (בוודאי אין פולינום קטן ממנו...)
אנו יודעים שעבור כל <math>v_i</math> קיים <math>\lambda_j</math> כך ש<math>Av_i=\lambda_j v_i</math>. מה הערך של <math>(A-\lambda_r)v_i</math> עבור <math>r\neq j</math>?
<math>(A-\lambda_r)v_i = \lambda_j v_i - \lambda_r v_i = (\lambda_j - \lambda_r)v_i</math>
הבה נסתכל ב <math>p(A)v_i</math>:
<math>p(A)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)\cdots(A-\lambda_kI)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)v_i=</math>
<math>=(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)v_i</math>
אבל <math>(A-\lambda_jI)v_i=0</math>
ולכן <math>p(A)v_i=0</math> לכל <math>v_i \in B</math>
<math>B</math> בסיס ולכן כל וקטור <math>v</math> ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי <math>B</math>:
<math>v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i</math>
ולכן <math>p(A)v=p(A)\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i=\sum_{i=1}^{n}\alpha_ip(A)v_i=0</math>
אם <math>p(A)\neq 0</math> אז קיימת לה עמודה <math>j</math> שונה מאפס, אזי <math>p(A)e_j\neq 0</math>. אבל ראינו ש <math>\forall v \in V :p(A)v=0</math> ולכן <math>p(A)=0</math> ולכן <math>p=m_A</math>.
'''<math>\Rightarrow</math>'''
קודם כל הפולינום המינימלי של <math>A</math> מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום המאפיין של <math>A</math>.
<math>n_i</math> כלומר החזקה של הגורם <math>t-\lambda_i</math> בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של <math>A</math>. לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי עבור כל ע"ע בצורת הז'ורדן של <math>A</math> הוא מגודל <math>1</math>. כלומר <math>A</math> לכסינה.
