שינויים
/* שאלה בקשר לשאלה והתשובה שנשאלו פה */
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 5| ארכיון 5]]''' - תרגיל 4
=שאלות=
=שאלות= 8.2.1/2==בסעיף ד אם אני מגיע לכך שהתחום חייב להתקיים האם זה מספיק או שצריך לתת דוגמא לכל אפשרות בתחום ?(כי פתרנו משהו דומה בתרגול ואמרת לנו שצריך להראות דוגמאות אבל אני לא מבין למה צריך במקרה זה, כי אם זה לא מתקיים עבור אחד המקרה בתחום זה עדין אומר שכל מימד של חיתוך כזה חייב להיות בתחום)
==7.7 בציונים סופיים ==עוד מעט מתחיל סמס א',מתי יפורסמו הציונים הסופיים? ==פגישה==בשביל להוכיח את הפגישה היום (י"א תשרי) בקשר לרישום, היא עם הורים? עוד שאלה, באיזה שעה היא ואיפה? ==שאלה בקשר לפתרון של מועד ב' ==בשאלה 8 א כתבת ש (1,0) != (1,6) אבל אנחנו נמצאים בz3 אז זה לא השתמשתי בנתון אומר ש-U תת מרחב וקטורי של V. האם אני אמורה להשתמש בו(1,6)=(1,0) ואז הטענה אינה נכונה? כי גם בסעיף ג' הם אומרים שהקבוצה B מוכלת ב-V ואני לא רואה למה הנתון הזה הכרחי...
===תשובה===
====תשובה לתשובה====
תודה!רבה על התשובה המהירה.כרגע רשום באתר המידע האישי שהמבחן 85%, אני מניח שזה יתעדכן?ומתי נקבל את ציוני תרגול 4-5 ואת השקלול הסופי של הציונים בתרגולים?שוב תודה, גל.
==ציונים==מתי יפרסמו את הציון הסופי או את הרכב הציון (אחוזים לכל דבר)?זה יכול להשפיע בהחלטה האם לגשת למועד ב'.אשמח לתשובה מהירה. ==שאלה 8==:האתר לא פועל בחגים, ואני עוד לא ראיתי את הציון שלי, יש דרך כלשהי לראות את הציונים שלי?:ועוד משהו, הציונים שעלו, הם רק בלינארית, או שזה גם בבדידה? תודה רבה, ושנה טובה לכולם!==ציון ביניים==מה זה אומר בדיוק? וכמה עולה לצפות במחברות הבחינה? תודה.2(אגב, ציוני הביניים עלו!!): ציון ביניים = חלקי הציון הכללי לפני מעבר שקלול.1/2הציון הסופי יעלה רק לאחר שיעלו כל ציוני הביניים.: עלות צפייה במחברת בחינה 5 ש"ח דרך כ"א. אפשר לצפות בה דרך האתר, אפשר גם להוריד אותה (ע"י לחיצה על כפתור השמירה תוך כדי הצפייה במחברת). (אינני מתרגל) ==ציון מעבר==בסעיף ג' מותר לקחת בתור U והודיעו מתישהו מה הציון הכללי שצריך כדי לעבור? בכל מקרה, מה הציון?:באופן כללי באוניברסיטה ציון מבחן עובר הוא 60 [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:44, 7 בספטמבר 2010 (IDT)::מה זה אומר שהציון עובר, או נכשל -W מרחבים שהסכום שלהם אינו ישרבמבחן?מה, אי אפשר לעבור את הקורס עם נכשל במבחן?:::התכוונתי לציון סופי, לא ציון מבחן. ציון סופי 60 זה עובר (במטרה שלהראות שאם הביטוי בשמאל מתקיים אחרי השקלול של ציון התרגיל). [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:10, 7 בספטמבר 2010 (IDT) ==פקטור==היה במבחן בלינארית פקטור? אם כן, כמה? ==אחוזים==בתחילת הסמסטר אמרו לנו שהציון מורכב מ: 80% מבחן, 10% בוחן, 10% ש.ב.. רציתי לדעת האם יש שינוי בהרכב הציון? :לא בטוח. אתם תראו את הציון הסופי כאשר הוא יופיע ==תרגולים 4-5==האם תעלו את הציונים שלהם בהמשך? תודה מראש.:כן, כאשר הם יתקבלו ==הערה==קודם כל אני רוצה להגיד תודה על כל העזרה עם השאלות באלגברה לינארית. אני יודע שזאת בקשה גדולה ואתם לא בהכרח הביטוי מימין חייבים להיענות לה, אך המתרגלים שעד עכשיו ענו על תשובות לאלגברה לינארית, יכולים לעזור גם מתקיים) <br>בבדידה? כי נראה לי שאף אחד לא נכנס לדף של בדידה... תודהרבה!! == פתרונות ==איפה מופיעים הפתרונות של המבחן???:'''[[מדיה: 10LinearTestASol.pdf|פתרון המבחן]]''' ==ציונים==איפה יופיעו הציונים?:ומתי?::לפי מה שידוע לי - בעוד כשבוע. אבל אשמח לתשובה ממרצה/מתרגל. ==תגובות לגבי פתרון המבחן==תיקונים: את שאלה 1 ו-4 לא עשיתי ככה שלא התייחסתי אליהם,בשאלה 2, הצבת את 1 במקום a ועדיין השארת a בפיתרון הכללי.. (ובמטריצה)בשאלות האמריקאיות- היה צריך להוכיח ולהפריך או רק לרשום כן/לא?תוכל בבקשה להעלות את ההגדרות, כי יש כמה גרסאות ורציתי לדעת אם יש הבדל, למשל:KerT= מרחב הפתרונות של המערכת Ax=0 כאשר A מטריצה מייצגת העתקה T, נקרא הגרעין של ההעתקה T. (KerT)/מרחב הוקטורים שההעתקה T שולחת אותם ל-0.סה"כ את שתיהן המרצה כתב לנו ושתיהן הגדרות פורמליות..
===תשובה===
צודק לגבי ההצבות, באמת טעות טפשית. לא היה צריך להוכיח או להפריך, אבל אחת המטרות העיקריות של התשובות היא שמי שצריך יוכל ללמוד מהפתרון למועד ב'. (וכמובן גם מי שלא ייגש - טוב שיידע את התשובות הנכונות). לגבי ההגדרות, אני לא יודע מה המרצים יקבלו. ==צ"למבחן==בשאלה 3 ג' בתשובות, בשלב שלפני שמתקבלת המטריצה הסופית (כפל שתי מטריצות), במטריצה השמאלית, במקום <math>a_{n,n-1}</math>, אני חושבת שאמור להיות <math>-(n-1)</math> ולא <math>-n-1</math>. נכון? :כן, תודה. ==שאלה==יהי אם כתבתי בשאלה 2 ב' שאין בסיס B ויהיו וליד זה את האות פי, זה בסדר? כי אני יודע שהבסיס הוא פי, אבל כתבתי לפני זה שאין בסיס, תודה רבה:(לא מתרגלת) פי? מה הקשר של פי לקבוצה ריקה?:: הכוונה היא לאות <math>b_i\ \empty</math> איברי B, המסמנת את הקבוצה הריקה. האם צריך להוכיח [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:01, 31 באוגוסט 2010 (IDT): תחליט: או שאין בסיס, או שיש בסיס והוא הקבוצה הריקה. האפשרות הראשונה בוודאי אינה נכונה, משום שלכל iמרחב וקטורי יש בסיס (את המקרה הסופי הוכחתם בקורס; המקרה הכללי הוא משפט של Hammel). הקבוצה הריקה היא הבסיס (היחיד) של מרחב האפס. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:01, מספר האיברים ב-31 באוגוסט 2010 (IDT):: אני כתבתי שאין בסיס וליד זה את האות <math>b_i\ \empty</math> שווה לעוצמת הבסיס, כל החישובים שלי בתרגים נכונים וגם על פי התשובות שלכם אין לי טעות אחת במבחן, הדבר היחיד שלא היה טוב זה שאחרי שהגעתי לזה שהחיתוך הוא 0 כתבתי שאין בסיס, וליד זה <math>\ \empty</math>, יורידו על זה הרבה נקודות? או כי זה לא שהיה לי טעות אחרת חוץ מזה, וגם כתבתי <math>\ \empty</math> בפתרון הסופי, תודה:::יורידו אולי נקודות, אני לא יודע מראש כמה. אם אין לך טעויות חוץ מזה יהיה לך ציון טוב. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 12:09, 1 בספטמבר 2010 (IDT) ==כמה שאלות לגבי פתרונות המבחן==1. בשאלה 3א האם אפשר היה להוכיח את היותה של הקבוצה בסיס על ידי שימוש בכך ש: א. <math>|B|=N</math> ולכן משום היותה בסיס <math>dimV=n</math> ומשום <math>|C|=n</math> עפ"י הגדרתו אז <math>dimV=|C|</math>. ב. בת"ל (וגם לא הוכחתי כפי שאתם הוכחתם אלא הוכחתי בשלילה, אמנם יצא לי יותר ארוך אבל אני מניח שזה מספיק טריוויאליבסדר, לא?!?). 2. ב-3ב לא יותר קצר למצוא את המטריצה הנדרשת באותו אופן שאתם מצאתם את ההופכית שלה? 3. בפתרון ל-2א יש לך טעות: הצבת a=1 וללכן לא יכול להיות שהפתרון הכללי למקרה של אינסוף פתרומנות תלוי ב-a. 4. איך נעשית חלוקת הנקודות בין הסעיפים בין השאלות הפתוחות? לכל סעיף משקל שווה? תודה מראש ושנה טובה!
===תשובה===
1. בת"ל ובגודל n + השלישי חינם זה סבבה.
שנה טובה ומבורכת. ===הבהרה=שאלה אחרונה==# לפי ההגדרה המקובלת של קורטובסקי (Kazimierz Kuratowski), כל n-יה סדורה היא '''כן''' קבוצה (למה אם rankAB <math>(a,b):=\min{\{a\},\{arankA,b\rankB}\}</math> ו-n-יה סדורה מוגדרת רקורסיבית כזוג סדור, שהאיבר הראשון שלו הוא האיבר הראשון ב-n-יה הסדורה, והאיבר השני הוא ה-(n-1)-יה הסדורה שנותרה, כלומר: <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n):=(a_1,(a_2,\cdots,a_n))</math>).# לא הייתי בטוח איך לנסח את זה, אבל כשכתבתי "מספר האיברים ב-<math>b_i</math>" התכוונתי למספר ה"רכיבים": מספר האיברים/רכיבים ב-<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> הוא n. ברור לי שזה לא אותו דבר כמו עוצמה (הרי העוצמה של n-יה סדורה היא 1 או שניים).# לא עניתם על השאלה: האם מותר לומר שמספר הרכיבים ב-<math>b_i</math> הוא <math>|אז A וגם B|</math>, או שצריך להוכיחאינן הפיכות? תודה, 18:56, 20 באוגוסט 2010 (IDT)!
===תשובה===
===תשובה===
==שאלה 2 בדףשיחלוף==בסעיף aבמשוואה שכוללת מטריצות, האם אפשר להגיד שנתאים לכל וקטור v1מותר לשחלף את שני האגפים וזה ישמור על שיוויון,..vn התאמה חח"עבלי להסביר או להוכיח (אם זה לא התרגיל), על והפיכה כך נכון?:אתה מתכוון ש vi-<math>A=[vi]b ולכן בכלל ש v1,B\iff A^T=B^T</math>? בטח שזה נכון..vn בת"ל אז [v1]bזו בדיוק אותה מטריצה,ופעולת השיחלוף מוגדרת היטב (חד-ערכית)..[vn]b בת"ל? ומכיוון שההתאמה הפיכה אז גם להפך? כי אני לא מצליח מתרגל, אבל אני כמעט בטוח שלא צריך להסביר או להוכיח . ==העתקת המטריצה==בחוברת עמוד 52 שאלה 1.10 ב' - או שלא הבנתי את זה בצורה אחרתההגדרה, או שיש טעות בהגדרת הטווח של ההעתקות T,S.למשל עבור העתקה T: הרי כפל של מטריצה מסדר m על n בוקטור מסדר n על 1 נותן וקטור מסדר m על 1 ולא הפוך! ועוד דבר - צריך לזכור בעל פה את ההגדרות של העתקת המטריצה, ההעתקות <math>L_A</math>, <math>T_A</math> ועוד? אם לא, אז אילו הגדרות של העתקות כן צריך לזכור בעל פה?
===תשובה===
==שאלה 8.4=תשובה=אפשר להגיד שאם <math>u1+u2=u1+u3</math> אז <math>dim(u1+u3)=dim(u1+u2)</math>:כןמרחב האפס בלי הקשר הוא אכן המרחב שמכיל בלבד את אפס. אם שני מ"ו שווים זה לזה אז הם אותו מרחב (כלומרהאפס של מטריצה, יש להם אותם איברים ואותן פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר). לכן ברור שגם המימדים שלהם זהיםבד"כ, הוא מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית.:תודה!
==שאלה 7.198 ממבחן 2002 מועד א'==אפשר רמזלמה סכום איברי המטריצה הוא 1?? ולא הבנתי מה קשור הרמז שהם נתנו ואיך מאיפה בתשובות הוא עוזר? תודה רבה.:מתוך העמוד הראשי:===דוגמא לעבודה עם מטריצות כוקטורים==='''[[מדיה:10Linear1MatrixVercotEx.pdf|דוגמא]]''' שימושית לתרגיל 4.:קראתי הביא את הדוגמה התשיעית הזאת וזה ממש עזר לי ב2 התרגילים מהדף המצורף ? המטריצה P היא <math>(ובכלל להבין את החומר0,2,1) אבל זה ממש לא עזר לי להבין איך לפתור את 7.19::נכון, לכן תקרא את התשובה שלי בדיוק מתחת --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:24(1,0,2), 20 באוגוסט 2010 (IDT2,1,0)</math> ולכן סכום איברי המטריצה הוא 0+2+1+1+0+2+2+1+0=9, למה 1?? תודה!
===תשובה===
::אם אין יותר מn איברים שונים מאפס, אז האיבר הn+1 שווה אפסנכון זו טעות בחוברת.
==צ"ל טריוויאלי=תשובה===האם ציש כמה קשרים בין השניים. למשל הrank של מטריצה ריבועית מגודל n שווה לn אם"ל שאם ם היא הפיכה. אם נסתכל על זה בתור העתקות ליאריות, אז הrank הוא מימד התמונה והוא קטן ככל שמימד הגרעין גדל.:'''למה אני אמור להסיק שA אינה הפיכה ב3?'''::אם תסתכל על המשפט שרשמתי אז תראה שA הפיכה אם"ם הrank שלה הוא n אם הrank של A^2 קטן מהrank של A בוודאי הוא קטן מn ולא יכול להיות שהיא הפיכה. אבל אם A הפיכה בוודאי A^2 הייתה צריכה להיות הפיכה. ==שאלה 1 מקובץ מצורף תרגול 4==שלום רב. בשאלה התבקשנו להוכיח ש- <math>\sum_{i=1}^n{\left(\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}\right)[v_iI]_B}=\vec0\iff\forall i\in\{1,\dots,n\}:\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}=\vec0_C^B</math> אזי הפיכה. האם לא מספיק פשוט לומר ש- <math>([v_1I]_B,_C^B)^{-1}=[v_2]_B,\dots,[v_nI]_B^C</math> בתע"ל? (ההבדל בין הטענה הזו לבין מה שלמדנו בהרצאה הוא שכאן יש מכפלה וקטורית). או שזה מספיק טריוויאלי? י בדיקה שאכן מתקיים שמכפלתן משני הצדדים היא <math>I</math> תודה, גל.
===תשובה===
== בסיס =תשובה===שאלה 7.7 תרגיל 4.
==שאלה==
למה אם למערכת הומוגנית Ax=0 יש פתרון יחיד, אזי A הפיכה? תודה!
===תשובה===
דרך אחרת להסתכל על זה היא שעמודות A בת"ל אם"ם למערכת Ax=0 יש פתרון יחיד, וידוע שעמודות מטריצה ריבועית בת"ל אם"ם היא הפיכה.:תודה! ==פרטים על המבחן בעמוד הראשי==פרטים על המבחן בעמוד הראשי:מה לגבי כמה זמן המבחן ומה המבנה שלו?::כבר אמרו את זה בהרצאות.:::ומי שלא הקשיב או לא היה מרוכז? או לא היה בשיעור?::::שישאל את החברים שלו. שאלות לגבי המבחן צריכות להיות מופנות למרצים ולא למתרגלים. ===שאלה קטנה===איפה זה בניין 507? זה הבניין שאנחנו בדרך כלל לומדים בו או בניין אחר? תודה!:אנחנו לומדים ב-604.::אז אפשר הכוונה לגבי איפה זה 507?:::507 זה הבניין הגדול עם המבנה המיוחד והמגני דויד למעלה, ממש ליד הבניין שאתם לומדים בו. ==שאלה/בקשה==נכון יש משפט שאומר (אני לא יודע ממש איך לכתוב בשפה המתמטית בפורום, לכן הבינו ש2 אותיות אחרי הT פירושן שהאות הראשונה למעלה מימין והשנייה למטה מימין וכו'): <math>[T]FG=[Iw]HG[T]EH[Iv]FE</math>? אז השאלה שלי היא, למה צריך את המשפט הזה תכלס? מתי המשפט הזה עוזר? והאם מתרגל יכול, בבקשה, להביא תרגיל אחד שבו חייבים/ רצוי מאוד להשתמש במשפט הזה? תודה רבה! ===תשובה===<math>[T]_G^F=[Iw]_G^H[T]_H^E[Iv]_E^F</math> השתמשנו בנוסחא הזו בשאלה הקודמת שלך... פשוט שם הייתה גם המטריצה <math>[I]_S^S</math> שהיא שווה למטריצת היחידה ולכן לא הזכרנו אותה. == שאלה ==מבחן 2004 מועד א' שאלה אמריקאית 3.. איך מוצאים את המימדים של U ו W?:(אני לא מתרגל)- 2 הSPANים פורשים, רק תבדוק אם יש בכל אחד מהSPANים איברים שתלויים אחד בשני, אם יש- תוריד אותם, ותישאר עם בסיסים לU וW. ===תשובה===מעבירים לצורה וקטורית שמים בשורות מטריצה ומדרגים. ==מבחן תשס"ד מועד ב' חלק אמריקאי שאלה 2==התשובה לא אמורה להיות A^-1*B במקום B*A^-1? כי <math>[T]AB=[I]SB*[T]AS=(A^-1)*B</math> לא? תודה! ===תשובה===לא נתון שB הוא בסיס בכלל. [T] צריכה לקיים את המשוואה <math>[T][v]=[Tv]</math>. לכן <math>[T][v_i]=[T]v_i=[Tv_i]=w_i</math> (כי הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי שוות לוקטור עצמו). אבל <math>A^{-1}v_i=e_i</math> ואז <math>BA^{-1}v_i=Be_i=C_i(B)=w_i</math> כפי שרצינו. דרך אחרת להוכיח: (פשוט הרבה יותר מזה) <math>[T]=[T]_S^S=[T]_S^A\cdot [I]_A^S=BA^{-1}</math> ==שאלה על הוכחה==האם ההוכחה הזאת קבילה?: נתון ש<math>AB=I</math> וכי <math>T:F^{n\times{n}}\rightarrow{F^{n\times{n}}}</math> כך ש:<math>T(X)=BX</math>, מספר האיברים בבסיס אני צריך להוכיח ש<math>T</math> על:"נניח -T לא על: לכן קיים <math>Q\in{F^{n\times{n}}}</math> כך שלכל <math>Z\in{F^{n\times{n}}}</math><math>T(הרי Z)\not=Q</math> לכן <math>BZ\not=Q</math> לכן <math>ABZ\not=AQ</math> כלומר- <math>Z\not=AQ</math> בסטירה לכך שהטענה נכונה עבור כל <math>Z\in{F^{n\times{n}}}</math> לכן T על? האם זה נכון? ===תשובה===כן, עדיף הוכחות כאלה לבצע בחיוב ולא בשלילה. תהי Q מטריצה כלשהיא, אזי המקור שלה הוא AQ ולהוכיח את זה. כן אבל בתרגיל הספציפי הזה אסור היה להשתמש במשפט ש<math>AB=BA=I</math> היה נתון רק ש<math>AB=I</math> == שאלה==מבחן 2 שאלה אמריקאית 2..הטענה חייבת להיות לכל Im(z)==0 אחרת זה לא משנה יכול להתקיים: מה זה מבחן 2? איזו שנה? איזה מועד?::2005 מועד א':::נראה לי שאתה צודק... יהי <math>z=x+yi</math> ולכן <math>z^3=x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i=x^3-3x^2yi+3xy^2+y^3i=(x-yi)^3</math> נפשט ונקבל ש- <math>6x^2yi-6xy^2-2y^3i=-6xy^2+(6x^2y-2y^3)i=0</math>. לאחר השוואה אני קיבלתי שאמנם ישנם אינסוף מקרים אבל בכולם <math>y=0=Im(z)</math> ===תשובה===[[#שאלה ממבחן 2005 מועד א]] ==מטריצות סימטריות ואנטי סימצטריות==שאלה: אם <math>A</math> ו-<math>B</math> סימטריות (שתיהן ריבועיות מאותו גודל) אז: האם <math>ABA</math> סימטרית?חשבתי על לפתור בדרך הזו: לפי סימטריות מתקיים ש: <math>A=A^t</math> וגם <math>B=B^t</math> ולכן <math>ABA=A^tB^tA^t=(BA)^tA^t=(A(BA))^t=(ABA)^t</math>. אי לכך גם <math>ABA</math> סימטרית. עם זאת, במבחן של 2003 (מועד א), זוהי שאלה 8 בחלק של האמריקאיות. אם מה שאני אומר נכון הרי שהתשובה אמורה להיות 3, אבל באתר כתוב שהתשובה היא 1. מה הטעות שלי? תודה, גל. ===תשובה===אתה צודק, ABA סימטרית אם A,B סימטריות מאותו גודל ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 11==איך פותרים שאלה כזאת? הצלחתי להבין ש<math>[T]B=(u1,u2,u3;0,0,0;w1,w2,w3)</math> (; מפריד בין עמודות)אבל איך יודעים איפה יש עוד אפסים? אם התשובה היא 2 או 4? תודה רבה!===תשובה===אני לא מתרגל אבל נראה לי שאני יכול לרמוז לך- תסתכל על הבסיס של האימג'- כל איבר בתמונה אתה יכול להציד כצירוף ליניארי שלהם.:לא הייתי עולה זה בחיים, אבל הבנתי- תודה רבה! ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 9==למה התשובה הנכונה היא- כל התשובות לא נכונות? אני זוכר שלמדנו משפטון שאומר שאם v1,..vk בת"ל אזי Tv1,..Tvk בתל כלומר 3 היא התשובה הנכונה.. לא? תודה! ===תשובה===המשפטון שאתה מזכיר מחייב T '''חח"ע'''. למשל העתקת האפס תהווה דוגמא נגדית לסעיף זה ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 4==הצלחתי להבין, בשיטת האלימנציה, שהתשובה היא T32=0, אבל אני ממש לא יודע בדיוק למה, אפשר בבקשה הסבר קצר על למה אפשר לדעת בוודאות שT32=0 ואיך אפשר להוכיח את זה? תודה! ===תשובה===נבנה בסיס בחרת לגרעין של ההעתקה. הגרעין של T^2 בהכרח '''גדול ממש''' מהגרעין של T אחרת ההעתקה תתקע על אותו מצב ולא תתאפס בחיים (אבל נתון שהיא מתאפסת). ולכן מימד הגרעין גדול ב1 לפחות. אחרי 32 צעדים כאלה נגיע לגרעין בגודל 32 - כלומר העתקת האפס. מדוע ההעתקה תתקע? אני אשאיר את זה כתרגיל.:למה גרעין בגודל 32 הוא העתקת האפס? כי המימד הוא 32?:וזה נכון לומר שהגרעין של TT חייב להיות גדול ממש מהגרעין שלT כי אם היה להם אותו מספרשל איברים בגרעין אז מה שמאפס את T^1024 מאפס גם את T^1023 ואז זה אומר ש T^1023 הוא העתקת האפס, וככה עד שמגיעים ל-שT היא העתקת האפס תמיד, אבל יודעים שהיא לא העתקת האפס תמיד? תודה ::קודם כל כן, אם הגרעין בגודל 32 אז הוא כל המרחב ולכן זו העתקת האפס. ::שנית, לא זו לא הוכחה נכונה. צריך להוכיח שאם נשלים את הבסיס של הגרעין של T^n לבסיס למרחב כולו, אזי הוקטורים שהשלמנו מהווים גם בסיס לתמונה של T^{n+1} ואז ברור שההעתקה חוזרת על עצמה. לא בטוח שזו הוכחה כל כך פשוטה. ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 1==כל מה שאני יודע הוא שהאפסיות של T היא לפחות 1 כי בטוח שV שהוא לא וקטור האפס נמצא בגרעין, וגם ש TT=0 ולכן לכל u מתקיים T(Tu) מוגדר להיות =0 ולכן התמונה מוכלת בגרעין ולכן dim(ImT)<=dim(KerT). אבל כל מה שזה נותן לי זה שהמימד של V הוא לא אפס! אפשר עזרה? תודה רבה!===תשובה===המימד הוא בטוח לא 4 כי 4 זה המימד של כל ההעתקות הלינאריות, והקבוצה הזו לא מכילה את כולם. המימד הוא גם לא אפס, יש יש העתקות שונות מאפס כאלה. נותר לבחור בין 1 לבין 2. נשלים את v לבסיס בעזרת u. אם ההעתקה שונה מאפס, u חייב להשלח לסקלר כפול v (אחרת פעם שנייה שנפעיל את ההעתקה היא לא תתאפס, ישאר שם גורם עם u.) לכן כל שתי העתקות יהיו ת"ל על ידי איפוס הסקלר הזה, ולכן המימד הוא אחד.:תודה רבה, רק עוד שאלה קטנה, איך יודעים שהמימד של כל ההעתקות הוא 4? תודה! ::זה משפט שיש איזומורפיזם בין מרחב ההעתקות למרחב המטריצות. ואנחנו יודעים מהו המימד של מרחב המטריצות 2 על 2:::הבנתי, תודה! ==שאלה על מכפלת מטריצת הפיכה והשחלוף שלה==טענה: עבור <math>A</math> הפיכה הרי שיתקיים ש- <math>A^t</math> הפיכה (עפ"י משפט) ולכן <math>A^tA</math> הפיכה כי מכפלת שתי מטריצות הפיכות תתן מטריצה הפיכה נוספת.השאלה שלי האם זה הסבר מספק לקיום טענה זו. אם לא, מה עליי להוסיף?ובלי קשר, האם עליי להוסיף הערה מדוע המכפלה <math>A^tA</math> מוגדרת או שזה ברור?תודה, גל. :בגדול זה בסדר, תלוי מה אתה נדרש להוכיח. בזמן מבחן שואלים את המרצה אם צריך להוכיח כך וכך. :: אוקי תודה. האם יהיו מתרגלים או מרצים כלשהם במבחן (אלי אמר שהוא לא יהיה)? אם כן, איך זה הולך? אתם נכנסים לשאלות או שחייבים לשאול לפני הבחינה? :::יהיה מי שיענה על שאלות בזמן המבחן (על שאלון המבחן ולא רמזים לפתרון כמובן) == קישורים למבחנים ==כשעשיתם עריכה לדף של לינארית הוצאתם את הקישורים למבחנים לדוגמא אפשר להחזיר אותם? תודה(::זה נמצא ב[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99&oldid=5475 היסטורית הדף]. ::הם פשוט הועברו בטעות לבדידה במקום ללינארית. הם הוחזרו למקום בדף של לינארית ==שאלה==האם נושא הדטרמיננטות כלול בחומר למבחן? אני לא מתרגל, אבל ודאי שלא ==שאלה דחופה==מחר צריך לבוא בזמן של ההרצאה (9) או בזמן של התרגול (13:00)? תודה רבה! :לא יודע מתי המרצים יגיעו. המתרגלים בגדול אמורים לבוא בזמן התרגול הרגיל. :לפי מה שידוע לי אצלנו (אלי) מתחילים ב-0900. מי שלומד עם אפי מתי צריך להגיע??לפי מה שזכור לי הוא אמר שהוא לא יבוא.. אנחנו צריכים לבוא ב9 או ב1?::אז כנראה שמי שלומד עם אפי צריך להגיע ב1, כי שיעור החזרה שלנו היה ביום שישי, ומחר יהיה לנו רק שיעור חזרה עם המתרגלים ב1.. ==חח"ע ועל של ה"ל==שלום רב,נניח ונתונה לי ה"ל <math>T:V->V</math>. האם נכון לומר ש <math>T</math> חח"ע אם"ם <math>T</math> על? ואם כן, האם עליי להסביר במבחן מדוע? תודה, גל. ===תשובה===זה נכון ונובע ממשפט הדרגה V=dimKer+dimIm (צריך לצטט את המשפט ולהסביר למה זה נובע) למעשה הטענה היא יותר כללית. תהי T:V->W כך שהמימדים של V,W שווים, אזי T על אם"ם T חח"ע. ==2.15ב'==אם אני רוצה למצוא את kerTa אז מה שצריך לעשות זה לכפול את המטריצה A במטריצה כללית מסדר 2x2 ולהשוות לאפס- ואז למצוא את המטריצה הכללית?- הכוונה במטריצה כללית זה שאני אסמן a b c d במקום קבועים במטריצה ואז אבדוק מה אני אקבל.. וזה יהיה הker? :כן, הגרעין זה מה שנשלח לאפס על ידי ההעתקה. ==שאלה==אם אני יודע ש:<math>\dim (W+U)= \dim W + \dim U</math> וגם <math>\dim V= \dim W + \dim U</math>כאשר<math>U,W\le V</math> אז אני יכול להגיד ש:<math>U\oplus W=V</math> ? ===תשובה===כן :(לא אני שאלתי את השאלה) למה כן? אם למשל <math>U=\{(a,0,0)\}</math>, <math>W=\{(0,a,0)\}</math>, <math>V=\{(a,0,b)\}</math>? (כך ש-a,b שייכים ל-R):ומה ז"א: <math>U,W\le V</math>?::אתה צודק, זה לא נכון (לא אני רשמתי את התשובה הקודמת). אם נוסיף את התנאי ש-<math>U+W=V</math> זה כן יהיה נכון. <math>U,W\le V</math> משמעו <math>U,W</math> תת מרחבים של V. ===תשובת מתרגל===המשפט נכון, והרי הוכחה: נתון U,W תתי מרחב של V. אזי ברור ש<math>U+W\subseteq V</math>. לכן לפי הנתון <math>dim(W+U)=dimV</math> יש לנו תת מרחב עם מימד שווה למרחב ולכן הם שווים <math>U+W=V</math>. כעת לפי משפט המימדים <math>dim(U+W)=dimU+dimW + dim(U\cap W)</math> ולכן לפי הנתון <math>dim(U\cap W)=0</math> ולכן <math>U \cap W = \{0\}</math>. וזה מה שצריך על מנת להוכיח סכום ישר. תודה רבה! ואגב לזה שהביא את הדוגמה, בדוגמה שלך W לא תת מרחב של V.אפשר להשתמש בזה או שצריך להוכיח?:נכון, זה בגלל שלא הבנתי מה אומר סימן ה"קטן-שווה". מצטרפת לשאלה.::צריך להוכיח. ==char-ים במבחן==כמעט לא התעסקנו ב-char-ים בשיעורים, לא תרגלנו והמרצים/מתרגלים בד"כ הזכירו את זה כהערת אגב. יהיו char-ים במבחן? תודה, 16:11, 28 באוגוסט 2010 (IDT) ===תשובה===לא יהיה מעבר לדברים דומים למה שעשינו בכיתה. ==1.28==לא הבנתי את התרגיל בכלל. את <math>T(f)</math> אמנם מצאתי בלי בעיה, אבל איך מוצאים את <math>T^{-1}(f)</math>? קראתי פה שאלה ותשובה: ''המימד''' איך אני מחשב את ההעתקה ההפיכה?''''' '''יש כמה דרכים. אחת מהן למדתם בהרצאה- בעזרת ההופכית של המרחבהמטריצה המייצגת. הדרך השנייה היא לפי משפט ההגדרה - מספיק לבחור בסיס בתמונה ולראות מה המקור שלו וכך אפשר לחשב את המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית.''' ולא הבנתי בכלל. מה הקשר למטריצות? (אני יודעת מה זו מטריצה מייצגת, קראתי את הקובץ, וגם במחברת, ונראה לי שהבנתי, אבל מה הקשר לתרגיל הזה? בכלל לא הבנתי מה השימוש של המטריצה המייצגת, מלבד לפתרון של תרגילים מסוג "מצא את מטריצה המייצגת"). ומה זה "בסיס בתמונה", בתרגיל הזה הבסיס הוא <math>\{1,x,x^2\}</math>? את המקור אמצא בעזרת מערכת משוואת כזו: <math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=1</math> , <math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=x</math> , <math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=x^2</math> ? ואז.. מה אני עושה עם המקור הזה? שוב, מה קשורה המטריצה המייצגת? תודה רבה מראש, מקווה להסבר מפורט. ---- ניסיתי עכשיו לפתור איך שראיתי לנכון, בלי מטריצות וכל זה... סימנתי <math>T^{-1}(f)=mx^2+nx+d</math>. לאחר מכן אמרתי ש-<math>TT^{-1}(f)=I_{R_2[x]}(f)=f=cx^2+bx+a</math> (ה-<math>f</math> הוא סימון). מצד שני, <math>TT^{-1}(f)=T(T^{-1}(f))=T(mx^2+nx+d)</math> וזה שווה למה שמצאתי קודם, הרי יש לי את <math>T(f)</math>. קיבלתי מערכת של 3 משוואות (לפי המקדמים של <math>x^2</math>, <math>x</math>, <math>1</math>) ואז ביטאתי את <math>m</math>,<math>n</math>,<math>d</math> באמצעות <math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math> וקיבלתי את <math>T^{-1}(f)</math>. בלי מטריצות, רק אלגברה. הגיוני? או שבכלל לא הבנתי את התרגיל? ===תשובה===*למדנו הרי כיצד למצוא העתקה '''מפורשת''' באמצעות מטריצה מייצגת. *אנחנו יודעים שהתמונה היא מרחב וקטורי, ולכן יש לה בסיס נסמן אותו <math>u_1,...,u_n</math>*נמצא w_i כך ש <math>Tw_1=u_1,...,Tw_n=u_n</math>*לכן <math>T^{-1}u_i=w_i</math> וכך אפשר למצוא את ההעתקה בצורה מפורשת כמו בתרגיל. דרך שנייה:*נמצא את המטריצה המייצגת של T*נהפוך אותה על מנת לקבל מטריצה מייצגת של <math>T^{-1}</math>*נמצא את ההעתקה במפורש מתוך המטריצה המייצגת, כמו בתרגיל.
====תשובה לתשובה====
תודהרבה על התשובה! לגבי הדרך הראשונה:*מה זה אומר העתקה '''מפורשת'''?*האם לכל <math>T(u)=v</math>, אבל לא הבנת מתקיים <math>T^{-1}(v)=u</math>?*תודה, הצלחתי לפתור את השאלה שליהתרגיל בדרך הזו! והתשובה יצאה לי כמו זו שיצאה בדרך שעשיתי קודם (זו שפירטתי למעלה). אני דיברתי על בסיסים שהם לא בסיסים של אותו המרחב אלא של מרחבים שונים זה מזהמעניין איזו קצרה יותר או עדיפה מאיזושהי סיבה. כמובן שמספר האיברים בהם לא בהכרח שווהיש העדפה כלשהי באופן כללי, אז אני כנראה הבנתי את המשפט ובמבחן בפרט? לגבי הדרך השנייה:*המטריצה המייצגת של <math>T</math> שהיא במקרה הזה לא נכון.פשוט מטריצה <math>[T]_S^S</math> כאשר <math>S</math> הבסיס הסטנדרטי של <math>R_2[x]</math>, בעצם מטריצה שעמודותיה הן (1,0,0), (0,2,3), (0,3,0) - כלומר הצורה הוקטורית של התמונות המתקבלות עבור מקורות מאיברי הבסיס.נכון?*ישנו משפט שאומר שהמטריצה ההופכית של המטריצה המייצגת של <math>T</math> היא המטריצה המייצגת של <math>T^{-1}</math>? (זה קל להוכחה אבל האם צריך להוכיח בכל פעם?)*איך מוצאים את ההעתקה במפורש מתוך המטריצה המייצגת? ואיזה תרגיל?
=====תשובה=====
*צורה בה אתה יודע לאין איבר כללי הולך. לדוגמא: <math>T(x,y,z)=3x+y+z</math>*כן, זו כמעט ההגדרה של ההעתקה ההופכית.*יש העדפה לדרכים שאני הצעתי, בניגוד לפתרון הרבה מערכות משוואות. *לא עקבתי ביחס לתרגיל, אבל בגדול מה שאמרת נשמע נכון.*צריך לצטט את המשפט מדבר על קבוצות בתוך מרחב ספציפי נתוןבלבד אלא ביקשו מכם להוכיח במפורש*עשינו תרגיל כזה בכיתה. אתה מחשב מטריצה מייצגת שמעבירה מהבסיס הסטנדרטי לאנשהו ואז אתה מקבל נוסחא כזו:<math>[T]_B^S[v]_S=[Tv]_B</math>. לכן <math>(x,y,z)</math> הולך לצירוף הלינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים מהכפל של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(x,y, ולא בין מרחבים שוניםz)</math> ======השאלות שנשארו======*בעצם מה שאני צריכה למצוא בתרגיל הזה. הרי המושג אוקיי תודה.*וניתן להשתמש בזה בלי להוכיח, נכון?*דרך הפתרון שלי דווקא פשוטה (רק 3 משוואות קלות), אבל באמת כדאי שאבין את עניין השימוש במטריצה המייצגת. *טוב.*מהו הניסוח המדוייק של המשפט הזה?*הנוסחה היא ממש משפט, לא? אבל לא הבנתי מה כתבת פה: '''פורשלכן <math>(x,y,z)</math> הולך לצירוף הלינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים מהכפל של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(x,y,z)</math>.''' מתייחס למרחב הנתון ששניהם נמצאים בובבקשה תסביר ברור יותר, אחרת כל קבוצה בעולם ממש חשוב לי להבין את זה (והתרגיל מהכיתה לא כתוב לי, העדפתי להקשיב). **כן*חשוב להבין כי יהיו שאלות '''ישירות''' על מטריצה מייצגת שלא תוכלי להתחמק מזה. **תחפשי במחברת הרצאה הכי טוב*הנוסחא היא פורשת משפט כן. את יודעת ש<math>[T]_B^S[v]_S=[Tv]_B</math>. מה המשוואה הזו אומרת? מצד שמאל יש את המכפלה של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(שכן כל קבוצה פורסת x,y,z)</math>. מצד ימין מקבלים את הSpan הקואורדינטות של Tv לפי הבסיס B. לכן צירוף לינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים שהם המכפלה משמאל שווים בדיוק לTv (הרי זו ההגדרה של עצמהקואורדינטות).
::יהא V מ"ו, ויהיו שתי קבוצות <math>A,B\subseteq V</math>אהה. אזי אם A פורשת . נראה לי שהבנתי! תודה רבה!! אנסה לפתור את V כלומר (spanA=V) וB בת"ל אזי <math>|A|\geq |B|</math>התרגיל בשתי הדרכים.
==מבחן תשסה מועד ב' שאלות אמריקאיות שאלה 10==
למה הטענות הנכונות הן א' וד'? אני חושב ש ב' וג' לא נכונות וגם א' לא נכון. למה א' נכון? א' אומר שכל הפונקציות מR לR הן כל הפונקציות הזוגיות סכום ישר עם כל הפונקציות האיזוגיות. זה לא נכון, כי יש פונקציות שהן לא זוגיות ולא איזוגיות ולא הסכום שלהן, כמו f(x)=x+1 או f(x) =rootX. (שורש של X). ויש גם פונקציות שהן גם זוגיות וגם איזוגיות, כמו f(x)=0 לא? כי אני זוכר מהבגרות שפונקציות זוגיות הן סימטריות ביחס לציר הX (מתקיים) ופונקציות אי זוגיות סימטריות ביחס לציר ה-X "ואז" לY (כלומר לשקף את מה שמימין לציר הX ומשמאל לציר הX ואז זה אמור להיות סימטרי ביחס לציר הY). אני טועה? תודה
===תשובה===
*צריך להגיע למשוואה מהצורה כל פונקציה היא סכום של זוגית ואי זוגית, ספציפית עשינו את זה בתרגיל. <math>f(x,y,z)=\alpha v_1 frac{f(x)+ \beta v_2 f(-x)}{2}+ \gamma v_3frac{f(x)-f(-x)}{2}</math> כאשר אתה צריך לחשב את אלפא, בטא וגמא. במילים אחרות אתה צריך לחשב את הקואורדינטות של איבר כללי לפי הבסיס הנתון.
*כמו שרשמתי למטה בתשובה לכמה שאלותאתה יודע למה ב' לא נכון? מעל הממשיים הוא כן נכון. שמים בשורות מטריצההבעייה היא, מדרגים. אם בצורה המדורגת למשל, מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> שם יש 5 שורות שונות את המטריצה <math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}</math> שהיא גם סימטרית וגם אנטי סימטרית ושונה מאפס אז .:שתי דברים: דבר ראשון, לא הבנתי מהדוגמה שלך למה כל פונקציה היא סכום של פו' זוגית ואי זוגית (ואני לא זוכר שעשינו את זה אומר שהקבוצה פורסת מרחב ממימד 5. תת מרחב ממימד 5 במרחב ממימד 5 חייב להיות המרחב כולובתרגיל).דבר שני, אז מה אם הפונקציה f(x)=0, היא לא גם זוגית וגם אי זוגית? תודה
::אתה יכול לוודא בקלות ש<math>\frac{f(x)-f(-x)}{2}</math> אי זוגית ו<math>\frac{f(x)+f(-x)}{2}</math> זוגית. 0 היא בוודאי גם אי זוגית וגם זוגית. לכן החיתוך הוא אפס, בדיוק כמו שאנחנו מצפים מסכום ישר. ==בקשר ל 6.5מבחן תשסה מועד ב' שאלות אמריקאיות שאלה 3==בשאלה צריך אוקי, עכשיו אני בטוח שיש פה טעות כלשהי. בתשובות כתוב שאפשרות 3 היא הבחירה הנכונה, כלומר 3 לא נכונה. זה לא הגיוני, כי לפי השאלה, יש לבחור רק להראות את האיבר הכללי או להראות איבר כלשהו בקבוצה שאינו בנפרש? או שצריך לפרט למה תשובה אחת לא נכונה, כלומר אם 3 לא נכונה אז 1 2 ו4 נכונות- אבל תשובה 2 אומרת שאף אחת מהתשובות האחרות היא אינה נכונה, שאת המשפט הזה אפשר להבין ב2 דרכים:-כל התשובות האחרות לא נכונות, שזה לא יכול להיות כי עם 3 הוא לא נכון זה שווה ואז להראות איבר כללי או להראות איבר שאינו שיך ולפרט למהאומר ש 1 ו4 נכונות בסתירה לכך שכל התשובות האחרות לא נכונות.-כל התשובות האחרות נכונות, שזה לא הגיוני כי 3 הוא לא נכון.אז נכון שיש טעות כלשהי?אני חושב שהתשובה ההגיונית היחידה היא 2. תודה
===תשובה===
==rank==הrank של מטריצת האפס הוא אפס, נכון?::צריך תמיד להסביר, אי אפשר לתת תשובה סופית בלבד. אפשר לא להציג את כל החישובים עד הסוףכן
==טריוויאלי או צ"ל?טעות במספר תעודת זהות==האם צ"ל שאם מטריצה A כלשהי מקיימת <math>\forall\vec xשלום,בציוני הבוחן והתרגילים ישנה אותה טעות במספר תעודת זהות שלי,בשניהם כתוב 205403933 אך המספר הנכון הוא 205413933.אשמח אם תוכלו לתקן זאת :A\vec xבסדר, תודה. =\vec x</math> אז בהכרח <math>A=I</mathשאלה על rank==יהי T:V->V ה"ל וB,C בסיסים בV. מה זה rankT? או שזה טריוויאלימה זה rank([T]BC)? (כשBC אומר שיש B קטן בצד למעלה ימין של [T] וC קטן בצד ימין למטה)? תודה.
===תשובה===
==לכל בסיס של V (מ"ו מסוים) יש אותו מספר איבריםשאלה ממבחן==בהוכחה של במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 11, מה זה אומר שT היא מעל השדה Zp? זה אומר שהיא מZp לZp? מה שכתבתי בכותרתזה אומר? איך זה יכול להיות שT היא מF לF כשF שדה, לוקחים B1 בסיס של V עם n איבריםהעתקה לינארית צריכה להיות ממרחב וקטורי למרחב וקטורי, ו-B2 בסיס של V ומוכיחים שגם בו n איברים. בהתחלה מוכיחים שיש ב-B2 לכל היותר n איבריםלא? למה התשובה הנכונה היא 3? תודה.
===תשובה===
==שאלה ממבחן==במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 9, למה הפתרון הוא 3? שמתי משתנים, דירגתי והגעתי למטריצת הזהות, כלומר כל האיקסים שווים לאפס? זה בטוח לא יכול להיות <math>(0,t,0,0,0)</math>! יש טעות? תודה ===תשובה===למעשה המשתנה השני *חייב* להיות חופשי. בגלל שאם היה לו איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת כלל. לעומת זאת בעמודות האחרות ניתן להוסיף איבר פותח כך שכל שאר המשתנים יהיו אפס.כמובן שעוד פתרונות יתכנו, אבל לא פתרונות 1,2,4 בהם המשתנה השני אינו חופשי.:"בגלל שאם היה לו איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת כלל. לעומת זאת בעמודות האחרות ניתן להוסיף איבר פותח כך שכל שאר המשתנים יהיו אפס"- סליחה, ממש לא הבנתי למה התכוונת. מה זה איבר פותח, למה המשתנה השני חייב להיות חופשי, מה זה אומר שאם לא היה איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת? גם אם הייתי יודע מה זה איבר פותח, למה דווקא המשתנה השני חייב להיות חופשי, למה לא השלישי הרביעי החמישי או הראשון? תודה ::כמו שאמרתי, חלק מהאחרים גם יכולים להיות חופשיים. אבל השני '''חייב''' להיות חופשי. איבר פותח או איבר ציר זה האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס. איך יודעים אם משתנה הוא חופשי? אם אין איבר פותח בעמודה שלו. האופציה היחידה לשים איבר שונה מאפס בעמודה של המשתנה השני היא בשורה האחרונה. אבל השורה האחרונה חייבת להיות שורת אפסים על מנת שהמטריצה תהיה אכן מדורגת.:::מה?? המשתנה השני חייב להיות חופשי כי אין איבר פותח בעמודה שלו? אבל אפשר להחליף בין העמודה השניה לחמישית!והשורה האחרונה לא חייבת להיות שורת אפסים, דירגתי והגעתי לשורה ראשונה עם איבר פותח בעמודה הראשונה, שורה שנייה עם איבר פותח בעמודה השניה וככה לכל השורות! ::::אי אפשר להחליף עמודות, ממתי מותר? נתונה מטריצה '''בצורה קנונית'''. אתה לא יכול לשים איזה מספרים שאתה רוצה, רק מספרים שישאירו את המטריצה מדורגת קנונית. נובע מכך, '''בהכרח''', שהשורה האחרונה היא שורת אפסים. אחרת יש איבר פותח שאינו נמצא מימין ממש לאיבר הפותח שלפניו (והאיבר הפותח לפניו בעמודה האחרונה). ==שיעור חזרה ביום ראשון==שיעור החזרה יהיה במתכונת של שאלות ותשובות, או שהמתרגל יפתור תרגילים?
===תשובה===
פרט לכך, נשאר אתכם כמה שצריך אחרי כן לענות על שאלות (לא כל המתרגלים, אבל לפחות אני). בנוסף, אפשר לרשום פה בוודאי. :תודה על התשובה המהירה! מי אתה? ::ארז.:::אה יופי אתה המתרגל שלי. ==דרך הפתרון ל7עמוד 49 שאלה 11.98==איך צריכים לפתור את השאלה? האם צריך להגיד ש(x1,x2,x3,x4,x5) עבור מטריצה A= a(1-0-0,0-1-0 (מסדר 2,על 3,4,5) +b(5,4,3,אני טוענת ש-rankA=2,1)+... ואז להראות שיש פתרון כללי ולכן הקבוצה הנתונה פורשת את R5צריך להסביר משהו מעבר ל: "לפי הבסיס הסטנדרטי rankA=2"? או שיש דרך אחרת יותר קלה? תודה.
===תשובה===
===תשובה===
===תשובה===
===תשובה===
===תשובה===
*אני אתן דוגמא, מקווה מנחש שזה יעזור:קיצור של Columne Spane כלומר מרחב העמודות. אני לא נתקלתי בזה, אני לא יודע אם ראיתם את זה בהרצאה או לא.
====תשובה לתשובה====
תודה!
*איזה משפט בדיוק?
*אני ראיתי את זה בשאלה שמתחת לזו...
*אוקיי תודה.
===תשובה===
== 11.10 ==
האם אני יכול להגיד ש- dim(cspan(A)+cspan(B))=rank(A+B)?
===תשובה===
== שאלה 6.14==איך מוכיחים שקבוצה אפשר הכוונה לגבי 6.14? תודה רבה! :הרמז שרשום שם מכוון מצויין.. משפט ההגדרה, השלמה לבסיס. אם תוכל לכוון אותי לבעייה, אני אוכל לכוון אותך לפתרון.::התכוונתי לגבי א'. תודה:::כן, לגבי א'. משפט ההגדרה במפורש. הרי התמונה של ההעתקה היא פורשתהמרחב הנפרש על ידי ה-w_i מהמשפט. ==2.8==מה זה אומר ש T1+T2 = Iv? אני יודע מה זה Iv, אני מתכוון ל-מה זה אומר הסכום שלהם? כאילו ש T1v1+T2v2=v1+v2 או ש T1v+T2v=v? ואיך מוצאים בסיס לקבוצהאו מה?זה ממש לא מובן. תודה
===תשובה===
תקרא את אותה שאלה עם התשובה למטה.:סליחה לא שמתי לב! אני די בטוח שלא למדנו שמרחבי השורות של מטריצות שקולות שורה הם זהיםאת זה אבל לא נורא. לכן על מנת למצוא בסיס לקבוצת וקטורים יש '''לשים אותם בשורות''' מטריצה '''ולדרג''' תודה ::אני בטוח לחלוטין (כמעט) שכן למדתם את המטריצהזה ולכן זה דיי נורא כי זה חומר חשוב למבחן. ===שאלה נוספת===וכשכתוב בב'''בצורה המדורגת T1T2, הכוונה היא הפעם לכפל של המטריצההעתקות, השורות השונות מאפס מהוות בסיס''' למרחב השורותכמו סכום? כי בדרך כלל זה הרכבה, אבל עכשיו נראה יותר מתאים שזה יהיה כפל. נכון? תודה :ואז איך תגדיר? כפל של שני וקטורים? אין כזה דבר כפל של שני וקטורים. כפל בין העתקות לינארית הוא בלבד הרכבה. כפי שלמדנו <math>T^2=TT=T\circ T</math>::אה, חשבתי שאם א. זה חיבור אז ב. זה יהיה כפל כזה D=TS -> D(v) = T(v)*S(v) אבל לא משנה.===עוד שאלה, לגבי דרך הפתרון===האם אני יכול להניח שקיימים x ששייך לimT1 וy ששייך לimT2 ואז להראות שאחרי כמה פעולות imT1+imT2 שווה לv ששייך לV אחרי אותן פעולות? אני ממש לא בטוח אם זה נכון, יש משהו לא נכון בהוכחה שלי? בנוסף, אני חושב שלא השתמשתי בעובדה שזה סכום ישר. זה בסדר? תודה! :אין עובדה שזה סכום ישר, זה מה שצריך להוכיח. אם לא הוכחת את זה אז זה לא בסדר.
==שאלה על מימדים2.7==אם אני מוכיח ב א' T היא העתקה הזהות זה בעצם מקיים את מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0שהם מבקשים? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0או שצריך להראות שייש מקרים עבורם T שווה למינוס העתקת הזהות? כי אם כך אז המימד של {(aלפי מה שניסיתי לראות המקרה השני בכלל לא הגיוני וניתן לסתור אותו,b,0,0) סכום ישר (0a,0,d,c)} אז אם צריך להראות שניתן שיתקיים שT שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1למינוס אז זו בעצם הפרחה, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?)
===תשובה===
כאשר אומרים הוכח/הפרך, יש לומר אם המשפט הוא משפט שקר או משפט אמת. במקרה הזה המשפט הוא:'''T המקיימת את תנאי השאלה היא בהכרח העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות.''' אם כל T שמקיימת את תנאי השאלה היא העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות אזי המשפט נכון (מהגדרה). לעומת זאת, אם קיימת T שמקיימת את תנאי השאלה ושונה מהעתקת הזהות '''וגם''' שונה ממינוס העתקת הזהות אזי המשפט הוא משפט שקר והפרכנו אותו.:ככה חשבתי, פשוט זה נראה לי מוזר שבכלל הוסיפו את העניין עם המינוס אם הוא לא משנה בכלל, אז העדפתי לשאול. תודה::יופי. תמיד טוב לשאול.===שאלה כלליתבקשר לשאלה והתשובה שנשאלו פה===האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"רגע, אבל מה עם העתקת האפס, זה לא סותר את מה שאמרתם, העתקת האפס לא שווה להעתקת היחידה? לא? יש לשים לב כי העתקה אידמפוטנטית מוגדרת <math>T^2 = T</math> פרט ל-0 (בדר"כ) - בהסתמך על הערך "אידמפוטנט" [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%93%D7%9E%D7%A4%D7%95%D7%98%D7%A0%D7%98%D7%99%D7%95%D7%AA] == 1.28 ==המטריצה המייצגת יצאה לי (x^2 2*x+3 3*x) זה הגיוני?ואז אני מדרג?הרי זה כמו וקטור שורה איך אני יכול לדרג?(לא ענית לי למטה..)תודה!
===תשובה===
==שאלה==
===תשובה===
== שאלה ==
===תשובה===
::אני מניח שהתכוונת ל::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זהרק להראות שהדרגה שלהן היא אכן כפי שאתה טוען.
===תשובה===
הכוונה היא שb וx שניהם וקטורי עמודה (כלומר מגודל nx1 כפי שציינת)
:תודה!
:ועוד שאלה: כאשר נתון ש-<math>V</math> הוא מרחב העמודות של <math>A</math>, האם אני יכולה פשוט בלי להסביר כלום לכתוב ש: <math>V=span\{v_1,v_2,...,v_n\}</math> כאשר <math>v_1,v_2,...v_n</math> הם וקטורי העמודות של <math>A</math>?
===תשובה===
==שאלה 611.4א10 ==בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, המטריצות A B הן שתיהן מגודל MXN?ובהוכחה אני אמורה להניח שהשורות הן בת"ל ושהדרגה שווה למס' השורות?אם שתי המטריצות הן מגודל MXN אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגילמה הדרגה?
===תשובה===
== שאלה לתשובה ==
אי אפשר להניח ששורות המטריצה בת"ל, הרי בוודאי יש מטריצות ששורותיהן תלויות לינארית. למה שתניחי דבר שהוא לא בהכרח נכון?
כאשר מנסים לפתור תרגיל כזה צריך לגשת אליו בצורה טכנית. לתת שמות לשורות המטריצות A,B ואז לראות מהן שורות המטריצה A+B, ואז לראות איך אפשר לחשב את הדרגה כפונקציה של השורות האלה וככה לנסות לפתור את התרגיל. באופן כללי יש משפט לפיו דרגת המטריצה =מימד מרחב העמודות = שאלה 3 ב בבוחן מימד מרחב השורות =מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית =שלום, לא הבנתי למה הזווית מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת של 1המטריצה ==תרגיל 2.8==מה הכוונה ב(א) שכתוב <math> T1 +i היא בדיוק פי חלקי ארבעT2 = Iv </math> ? כלומר מה החישוב שעושיםהכוונה בחיבור העתקות ליניאריות?תודה רבה... XD
===תשובה===
יהיו 2 העתקות לינאריות T,S. נגדיר את ההעתקה הלינארית שהיא החיבור שלהן D=T+S, על ידי <math>\forall v\in V :D(v)= שאלה 1 ב' בבוחן S(v)+T(v)</math> ===תשובה לתשובה==בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור aתודה רבה XD :P :) :D ==מרחב עמודות ***עוד שאלה***==0 אני לא מצליחה!אתה יכול לפרט יותראיך מחשבים את הדרגה של A, כלומר את מספר האיברים בבסיס של מרחב העמודות של A?איך מוצאים את הבסיס?מהי הדרגה של מטריצת האפס? למה? תודה.
===תשובה===
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------>
משתמש אלמוני